微分積分例

$x \ln (x) - x$

ステップ 1

$x \ln (x) - x$ を関数で書きます。

$f (x) = x \ln (x) - x$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int x \ln (x) - x d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x \ln (x) d x + \int - x d x$

ステップ 5

$u = \ln (x)$ と $d v = x$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x + \int - x d x$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x + \int - x d x$

ステップ 6.2

$\ln (x)$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x + \int - x d x$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x) + \int - x d x$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x) + \int - x d x$

ステップ 8.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x) + \int - x d x$

ステップ 8.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x) + \int - x d x$

ステップ 8.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x) + \int - x d x$

ステップ 8.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x) + \int - x d x$

ステップ 8.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x) + \int - x d x$

ステップ 8.2.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x) + \int - x d x$

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x + \int - x d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - x d x$

ステップ 10

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x d x$

ステップ 11

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{x^{2}}{2} + C)$

ステップ 12.2

簡約します。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{2} + C$

ステップ 12.3

簡約します。

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ステップ 12.3.1

$- \frac{x^{2}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + C$

ステップ 12.3.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 12.3.2.1

$\frac{x^{2}}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 12.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2} \cdot 2}{4} + C$

ステップ 12.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} + \frac{- x^{2} - x^{2} \cdot 2}{4} + C$

ステップ 12.3.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} + \frac{- x^{2} - 2 x^{2}}{4} + C$

ステップ 12.3.5

$- x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} + \frac{- 3 x^{2}}{4} + C$

ステップ 12.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} + C$

ステップ 13

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{3}{4} x^{2} + C$

ステップ 14

答えは関数 $f (x) = x \ln (x) - x$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{3}{4} x^{2} + C$

微分積分 例

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