微分積分例

$y = {(x^{3} - 2 x)}^{2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{3} - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3} - 2 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{3} - 2 x$ で置き換えます。

$2 (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{3} - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$2 (x^{3} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 1.2.3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} - 2 \cdot 1)$

ステップ 1.2.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} - 2)$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$(2 x^{3} + 2 (- 2 x)) (3 x^{2} - 2)$

ステップ 1.3.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$(2 x^{3} - 4 x) (3 x^{2} - 2)$

ステップ 1.3.3

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x^{3} - 4 x) (3 x^{2} - 2)$ を展開します。

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ステップ 1.3.3.1

分配則を当てはめます。

$2 x^{3} (3 x^{2} - 2) - 4 x (3 x^{2} - 2)$

ステップ 1.3.3.2

分配則を当てはめます。

$2 x^{3} (3 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2} - 2)$

ステップ 1.3.3.3

分配則を当てはめます。

$2 x^{3} (3 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

ステップ 1.3.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.4.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \cdot 3 x^{3} x^{2} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

ステップ 1.3.4.1.2

指数を足して $x^{3}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.3.4.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$2 \cdot 3 (x^{2} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

ステップ 1.3.4.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \cdot 3 x^{2 + 3} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

ステップ 1.3.4.1.2.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$2 \cdot 3 x^{5} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

ステップ 1.3.4.1.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x^{5} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

ステップ 1.3.4.1.4

$- 2$ に $2$ をかけます。

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

ステップ 1.3.4.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 2$

ステップ 1.3.4.1.6

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.3.4.1.6.1

$x^{2}$ を移動させます。

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 (x^{2} x) - 4 x \cdot - 2$

ステップ 1.3.4.1.6.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 1.3.4.1.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) - 4 x \cdot - 2$

ステップ 1.3.4.1.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 x^{2 + 1} - 4 x \cdot - 2$

ステップ 1.3.4.1.6.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 x^{3} - 4 x \cdot - 2$

ステップ 1.3.4.1.7

$- 4$ に $3$ をかけます。

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 12 x^{3} - 4 x \cdot - 2$

ステップ 1.3.4.1.8

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 12 x^{3} + 8 x$

ステップ 1.3.4.2

$- 4 x^{3}$ から $12 x^{3}$ を引きます。

$f' (x) = 6 x^{5} - 16 x^{3} + 8 x$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $6 x^{5} - 16 x^{3} + 8 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{5}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

ステップ 2.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

ステップ 2.2.3

$5$ に $6$ をかけます。

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 16 x^{3}$ の微分係数は $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$30 x^{4} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

ステップ 2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$30 x^{4} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x]$

ステップ 2.3.3

$3$ に $- 16$ をかけます。

$30 x^{4} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [8 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$30 x^{4} - 48 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$30 x^{4} - 48 x^{2} + 8 \cdot 1$

ステップ 2.4.3

$8$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 30 x^{4} - 48 x^{2} + 8$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

総和則では、 $30 x^{4} - 48 x^{2} + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$\frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [30 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$30$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $30 x^{4}$ の微分係数は $30 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$30 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$30 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.2.3

$4$ に $30$ をかけます。

$120 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 48 x^{2}$ の微分係数は $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$120 x^{3} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$120 x^{3} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.3.3

$2$ に $- 48$ をかけます。

$120 x^{3} - 96 x + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$120 x^{3} - 96 x + 0$

ステップ 3.4.2

$120 x^{3} - 96 x$ と $0$ をたし算します。

$f''' (x) = 120 x^{3} - 96 x$

微分積分 例

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