微分積分例

$y = x^{6} - \sqrt{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{6} - \sqrt{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$

ステップ 1.1.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{5} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$6 x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$6 x^{5} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{5} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 1.2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$6 x^{5} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 1.2.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$6 x^{5} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.2.6

公分母の分子をまとめます。

$6 x^{5} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.2.7

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$6 x^{5} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 1.2.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$6 x^{5} - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 1.2.8

分数の前に負数を移動させます。

$6 x^{5} - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 1.2.9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$6 x^{5} - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 1.2.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = 6 x^{5} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $6 x^{5} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{5}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2.3

$5$ に $6$ をかけます。

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$30 x^{4} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ を ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$30 x^{4} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 2.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{1}{2}}$ とします。

$30 x^{4} - \frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 2.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$30 x^{4} - \frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 2.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$30 x^{4} - \frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 2.3.4

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$30 x^{4} - \frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

ステップ 2.3.5

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$30 x^{4} - \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

ステップ 2.3.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$30 x^{4} - \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

ステップ 2.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$30 x^{4} - \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

ステップ 2.3.5.2.3

式を書き換えます。

$30 x^{4} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

ステップ 2.3.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$30 x^{4} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

ステップ 2.3.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$30 x^{4} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 2.3.8

公分母の分子をまとめます。

$30 x^{4} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 2.3.9

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$30 x^{4} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

ステップ 2.3.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$30 x^{4} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

ステップ 2.3.10

分数の前に負数を移動させます。

$30 x^{4} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

ステップ 2.3.11

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$30 x^{4} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 2.3.12

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $x^{- 1}$ をまとめます。

$30 x^{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

ステップ 2.3.13

指数を足して $x^{- \frac{1}{2}}$ に $x^{- 1}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.13.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$30 x^{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

ステップ 2.3.13.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$30 x^{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

ステップ 2.3.13.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$30 x^{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

ステップ 2.3.13.4

公分母の分子をまとめます。

$30 x^{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

ステップ 2.3.13.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.13.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$30 x^{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

ステップ 2.3.13.5.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$30 x^{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

ステップ 2.3.13.6

分数の前に負数を移動させます。

$30 x^{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

ステップ 2.3.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$30 x^{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 2.3.15

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$30 x^{4} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.3.16

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$30 x^{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.3.17

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$30 x^{4} + \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}$

ステップ 2.3.18

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 30 x^{4} + \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例