微分積分例

$x^{2} - x - \ln (x)$

ステップ 1

$x^{2} - x - \ln (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1.1

総和則では、 $x^{2} - x - \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.1.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.1.1.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.1.1.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

ステップ 2.1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $2 x - \frac{1}{x} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.3.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$2 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.3.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.3.6

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.3.7

$\frac{1}{x}$ に $0$ をかけます。

$2 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.3.8

$x^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$2 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + x^{- 2} + 0$

ステップ 2.1.2.5

簡約します。

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ステップ 2.1.2.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 + \frac{1}{x^{2}} + 0$

ステップ 2.1.2.5.2

$2 + \frac{1}{x^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$2 + \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 2.1.2.5.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{1}{x^{2}} + 2$ です。

$\frac{1}{x^{2}} + 2$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{1}{x^{2}} + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{1}{x^{2}} + 2 = 0$

ステップ 2.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$\frac{1}{x^{2}} = - 2$

ステップ 2.2.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.2.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{2}, 1$

ステップ 2.2.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2}$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{x^{2}} = - 2$ の各項に $x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.2.4.1

$\frac{1}{x^{2}} = - 2$ の各項に $x^{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

ステップ 2.2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.4.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

ステップ 2.2.4.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = - 2 x^{2}$

ステップ 2.2.5

方程式を解きます。

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ステップ 2.2.5.1

方程式を $- 2 x^{2} = 1$ として書き換えます。

$- 2 x^{2} = 1$

ステップ 2.2.5.2

$- 2 x^{2} = 1$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.5.2.1

$- 2 x^{2} = 1$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

ステップ 2.2.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

ステップ 2.2.5.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{1}{- 2}$

ステップ 2.2.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.5.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

ステップ 2.2.5.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

ステップ 2.2.5.4

$\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.5.4.1

$- \frac{1}{2}$ を $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ に書き換えます。

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ステップ 2.2.5.4.1.1

$- 1$ を $i^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

ステップ 2.2.5.4.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

ステップ 2.2.5.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

ステップ 2.2.5.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.2.5.4.4

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.2.5.4.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.2.5.4.6

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

ステップ 2.2.5.4.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.2.5.4.7.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 2.2.5.4.7.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 2.2.5.4.7.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 2.2.5.4.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.2.5.4.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 2.2.5.4.7.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 2.2.5.4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.2.5.4.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.2.5.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.2.5.4.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.5.4.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.2.5.4.7.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 2.2.5.4.7.6.5

指数を求めます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.2.5.4.8

$i$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.2.5.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.2.5.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.2.5.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.2.5.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$ の定義域を求めます。

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ステップ 3.1

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x > 0$

ステップ 3.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 0}$

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 0}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(0, \infty)$

ステップ 5

区間 $(0, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = \frac{1}{{(2)}^{2}} + 2$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (2) = \frac{1}{4} + 2$

ステップ 5.2.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f'' (2) = \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 5.2.3

$2$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f'' (2) = \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

ステップ 5.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f'' (2) = \frac{1 + 2 \cdot 4}{4}$

ステップ 5.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.5.1

$2$ に $4$ をかけます。

$f'' (2) = \frac{1 + 8}{4}$

ステップ 5.2.5.2

$1$ と $8$ をたし算します。

$f'' (2) = \frac{9}{4}$

ステップ 5.2.6

最終的な答えは $\frac{9}{4}$ です。

$\frac{9}{4}$

ステップ 5.3

$f'' (2)$ が正なので、区間 $(0, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例