微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x)}{e^{7 x}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (3 x)}{lim_{x \to \infty} e^{7 x}}$

ステップ 1.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{7 x}}$

ステップ 1.3

指数 $7 x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{7 x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x)}{e^{7 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

ステップ 3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

ステップ 3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

ステップ 3.4

$3$ と $\frac{1}{3 x}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

ステップ 3.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

ステップ 3.5.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

ステップ 3.7

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

ステップ 3.8

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 7 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $7 x$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x]}$

ステップ 3.8.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [7 x]}$

ステップ 3.8.3

$u$ のすべての発生を $7 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]}$

ステップ 3.9

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{7 x} (7 \cdot 1)}$

ステップ 3.11

$7$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{7 x} \cdot 7}$

ステップ 3.12

$7$ を $e^{7 x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{7 \cdot e^{7 x}}$

ステップ 3.13

$7$ に $e^{7 x}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{7 e^{7 x}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{7 e^{7 x}}$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{7 e^{7 x}}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (7 e^{7 x})}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{7}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (e^{7 x})}$

ステップ 6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x (e^{7 x})}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{1}{7} \cdot 0$

ステップ 7

$\frac{1}{7}$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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