微分積分例

$y = \sin (x) \cos (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.7

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)$

ステップ 1.8

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

ステップ 1.9

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

ステップ 1.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

ステップ 1.11

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

ステップ 1.12

簡約します。

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ステップ 1.12.1

$- \sin^{2} (x)$ と $\cos^{2} (x)$ を並べ替えます。

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

ステップ 1.12.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cos (x)$ であり、 $b = \sin (x)$ です。

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

ステップ 1.12.3

分配法則（FOIL法）を使って $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ を展開します。

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ステップ 1.12.3.1

分配則を当てはめます。

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

ステップ 1.12.3.2

分配則を当てはめます。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

ステップ 1.12.3.3

分配則を当てはめます。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.12.4

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.12.4.1

$\cos (x) (- \sin (x))$ と $\sin (x) \cos (x)$ について因数を並べ替えます。

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.12.4.2

$- \cos (x) \sin (x)$ と $\cos (x) \sin (x)$ をたし算します。

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.12.4.3

$\cos (x) \cos (x)$ と $0$ をたし算します。

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.12.5

各項を簡約します。

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ステップ 1.12.5.1

$\cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 1.12.5.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.12.5.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.12.5.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.12.5.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.12.5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

ステップ 1.12.5.3

$- \sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 1.12.5.3.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

ステップ 1.12.5.3.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

ステップ 1.12.5.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

ステップ 1.12.5.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

ステップ 1.12.6

余弦2倍角の公式を当てはめます。

$f' (x) = \cos (2 x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

ステップ 2.2.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x)$

微分積分 例

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