微分積分例

$f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ に $6$ をかけます。

$12 x + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 \sin (2 x)$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ です。

$12 x + 6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 1.1.1.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$12 x + 6 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.1.1.3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$12 x + 6 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.1.1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$12 x + 6 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.1.1.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 x + 6 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 1.1.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x + 6 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

ステップ 1.1.1.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$12 x + 6 (\cos (2 x) \cdot 2)$

ステップ 1.1.1.3.6

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$12 x + 6 (2 \cdot \cos (2 x))$

ステップ 1.1.1.3.7

$2$ に $6$ をかけます。

$f' (x) = 12 x + 12 \cos (2 x)$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $12 x + 12 \cos (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [12 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

ステップ 1.1.2.2.3

$12$ に $1$ をかけます。

$12 + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

ステップ 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 \cos (2 x)$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ です。

$12 + 12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

ステップ 1.1.2.3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$12 + 12 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.1.2.3.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$12 + 12 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.1.2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$12 + 12 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.1.2.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 + 12 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 1.1.2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 + 12 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

ステップ 1.1.2.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$12 + 12 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

ステップ 1.1.2.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$12 + 12 (- 2 \sin (2 x))$

ステップ 1.1.2.3.7

$- 2$ に $12$ をかけます。

$f'' (x) = 12 - 24 \sin (2 x)$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $12 - 24 \sin (2 x)$ です。

$12 - 24 \sin (2 x)$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 - 24 \sin (2 x) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$12 - 24 \sin (2 x) = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺から $12$ を引きます。

$- 24 \sin (2 x) = - 12$

ステップ 1.2.3

$- 24 \sin (2 x) = - 12$ の各項を $- 24$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$- 24 \sin (2 x) = - 12$ の各項を $- 24$ で割ります。

$\frac{- 24 \sin (2 x)}{- 24} = \frac{- 12}{- 24}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$- 24$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 24 \sin (2 x)}{- 24} = \frac{- 12}{- 24}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$\sin (2 x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (2 x) = \frac{- 12}{- 24}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$- 12$ と $- 24$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.3.1.1

$- 12$ を $- 12$ で因数分解します。

$\sin (2 x) = \frac{- 12 (1)}{- 24}$

ステップ 1.2.3.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.3.1.2.1

$- 12$ を $- 24$ で因数分解します。

$\sin (2 x) = \frac{- 12 \cdot 1}{- 12 \cdot 2}$

ステップ 1.2.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\sin (2 x) = \frac{- 12 \cdot 1}{- 12 \cdot 2}$

ステップ 1.2.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.4

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

ステップ 1.2.5

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$2 x = \frac{π}{6}$

ステップ 1.2.6

$2 x = \frac{π}{6}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.6.1

$2 x = \frac{π}{6}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

ステップ 1.2.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.6.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

ステップ 1.2.6.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

ステップ 1.2.6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.6.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.6.3.2

$\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.6.3.2.1

$\frac{π}{6}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

ステップ 1.2.6.3.2.2

$6$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{π}{12}$

ステップ 1.2.7

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$2 x = π - \frac{π}{6}$

ステップ 1.2.8

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.8.1

簡約します。

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ステップ 1.2.8.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 1.2.8.1.2

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 1.2.8.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 1.2.8.1.4

$π \cdot 6$ から $π$ を引きます。

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ステップ 1.2.8.1.4.1

$π$ と $6$ を並べ替えます。

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

ステップ 1.2.8.1.4.2

$6 \cdot π$ から $π$ を引きます。

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

ステップ 1.2.8.2

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.8.2.1

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

ステップ 1.2.8.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.8.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.8.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

ステップ 1.2.8.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

ステップ 1.2.8.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.8.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.8.2.3.2

$\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.8.2.3.2.1

$\frac{5 π}{6}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

ステップ 1.2.8.2.3.2.2

$6$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{12}$

ステップ 1.2.9

$\sin (2 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.2.9.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.2.9.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 1.2.9.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 1.2.9.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.9.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 1.2.9.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 1.2.10

$\sin (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 12 - 24 \sin (2 (0))$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 12 - 24 \sin (0)$

ステップ 4.2.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f'' (0) = 12 - 24 \cdot 0$

ステップ 4.2.1.3

$- 24$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 12 + 0$

ステップ 4.2.2

$12$ と $0$ をたし算します。

$f'' (0) = 12$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $12$ です。

$12$

ステップ 4.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- \infty, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例