微分積分例

$f (x) = x^{\frac{3}{4}}$ , $a = 16$

ステップ 1

$a$ で線形化を求めるために使用する関数を考えます。

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

ステップ 2

$a = 16$ の値を線形化関数に代入します。

$L (x) = f (16) + f' (16) (x - 16)$

ステップ 3

$f (16)$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $16$ で置換えます。

$f (16) = {(16)}^{\frac{3}{4}}$

ステップ 3.2

${(16)}^{\frac{3}{4}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

括弧を削除します。

${(16)}^{\frac{3}{4}}$

ステップ 3.2.1.2

$16$ を $2^{4}$ に書き換えます。

${(2^{4})}^{\frac{3}{4}}$

ステップ 3.2.1.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2^{4 (\frac{3}{4})}$

ステップ 3.2.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

共通因数を約分します。

$2^{4 (\frac{3}{4})}$

ステップ 3.2.2.2

式を書き換えます。

$2^{3}$

ステップ 3.2.3

$2$ を $3$ 乗します。

$8$

ステップ 4

微分係数を求め、 $16$ で値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$f (x) = x^{\frac{3}{4}}$ の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$n = \frac{3}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}$

ステップ 4.1.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

ステップ 4.1.3

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

ステップ 4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}$

ステップ 4.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}}$

ステップ 4.1.5.2

$3$ から $4$ を引きます。

$\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}}$

ステップ 4.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}$

ステップ 4.1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 4.1.7.2

$\frac{3}{4}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ をかけます。

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 4.2

式の変数 $x$ を $16$ で置換えます。

$\frac{3}{4 {(16)}^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 4.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3}{2^{2} \cdot 16^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 4.3.1.2

$16$ を $2^{4}$ に書き換えます。

$\frac{3}{2^{2} \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 4.3.1.3

${(2^{4})}^{\frac{1}{4}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3}{2^{2} \cdot 2^{4 (\frac{1}{4})}}$

ステップ 4.3.1.3.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{2^{2} \cdot 2^{4 (\frac{1}{4})}}$

ステップ 4.3.1.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{3}{2^{2} \cdot 2^{1}}$

ステップ 4.3.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3}{2^{2 + 1}}$

ステップ 4.3.1.5

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3}{2^{3}}$

ステップ 4.3.2

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{3}{8}$

ステップ 5

成分を線形化関数に代入し、 $a$ における線形化を求めます。

$L (x) = 8 + \frac{3}{8} (x - 16)$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$L (x) = 8 + \frac{3}{8} x + \frac{3}{8} \cdot - 16$

ステップ 6.1.2

$\frac{3}{8}$ と $x$ をまとめます。

$L (x) = 8 + \frac{3 x}{8} + \frac{3}{8} \cdot - 16$

ステップ 6.1.3

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

$8$ を $- 16$ で因数分解します。

$L (x) = 8 + \frac{3 x}{8} + \frac{3}{8} \cdot (8 (- 2))$

ステップ 6.1.3.2

共通因数を約分します。

$L (x) = 8 + \frac{3 x}{8} + \frac{3}{8} \cdot (8 \cdot - 2)$

ステップ 6.1.3.3

式を書き換えます。

$L (x) = 8 + \frac{3 x}{8} + 3 \cdot - 2$

ステップ 6.1.4

$3$ に $- 2$ をかけます。

$L (x) = 8 + \frac{3 x}{8} - 6$

ステップ 6.2

$8$ から $6$ を引きます。

$L (x) = \frac{3 x}{8} + 2$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例