微分積分例

$\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1

$\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{({(x - 2)}^{3})}^{2}}$

ステップ 2.1.2

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

${({(x - 2)}^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{3 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 2.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x - 2)}^{3} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 2.1.2.3

$2$ を ${(x - 2)}^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot {(x - 2)}^{3} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 2.1.3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 2$ とします。

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 2.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 2.1.3.3

$u$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 2.1.4

微分します。

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ステップ 2.1.4.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 2.1.4.2

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 2.1.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 2.1.4.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (1 + 0))}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 2.1.4.5

式を簡約します。

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ステップ 2.1.4.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} \cdot 1)}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 2.1.4.5.2

${(x - 2)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 2.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1.1

${(x - 2)}^{2} x$ を $2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.5.1.1.1

${(x - 2)}^{2} x$ を $2 {(x - 2)}^{3} x$ で因数分解します。

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 2.1.5.1.1.2

${(x - 2)}^{2} x$ を $- 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} x (- 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 2.1.5.1.1.3

${(x - 2)}^{2} x$ を ${(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} x (- 3 x)$ で因数分解します。

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2) - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 2.1.5.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 x + 2 \cdot - 2 - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 2.1.5.1.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 x - 4 - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 2.1.5.1.4

$2 x$ から $3 x$ を引きます。

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (- x - 4)}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 2.1.5.2

${(x - 2)}^{2}$ と ${(x - 2)}^{6}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.5.2.1

${(x - 2)}^{2}$ を ${(x - 2)}^{2} x (- x - 4)$ で因数分解します。

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 2.1.5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.5.2.2.1

${(x - 2)}^{2}$ を ${(x - 2)}^{6}$ で因数分解します。

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x (- x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.3

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{x (- (x) - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.4

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$\frac{x (- (x) - 1 (4))}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.5

$- 1$ を $- (x) - 1 (4)$ で因数分解します。

$\frac{x (- (x + 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.6

$- (x + 4)$ を $- 1 (x + 4)$ に書き換えます。

$\frac{x (- 1 (x + 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$ です。

$- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$x (x + 4) = 0$

ステップ 3.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 3.3.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.3.3

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.3.3.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 3.3.3.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 3.3.4

最終解は $x (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 4$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, - 4$ です。

$0, - 4$

ステップ 5

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 5.1

$\frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 2)}^{4} = 0$

ステップ 5.2

$x$ について解きます。

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ステップ 5.2.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 6

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 7

区間 $(- \infty, - 4)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 5$ で置換えます。

$f' (- 5) = - \frac{(- 5) ((- 5) + 4)}{{((- 5) - 2)}^{4}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$- 5$ と $4$ をたし算します。

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{{(- 5 - 2)}^{4}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$- 5$ から $2$ を引きます。

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{{(- 7)}^{4}}$

ステップ 7.2.2.2

$- 7$ を $4$ 乗します。

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{2401}$

ステップ 7.2.3

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 5) = - \frac{5}{2401}$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $- \frac{5}{2401}$ です。

$- \frac{5}{2401}$

ステップ 7.3

$x = - 5$ で微分係数は $- \frac{5}{2401}$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - 4)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 4)$ で減少

ステップ 8

区間 $(- 4, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = - \frac{(- 2) ((- 2) + 4)}{{((- 2) - 2)}^{4}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$- 2$ と $4$ をたし算します。

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{{(- 2 - 2)}^{4}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$- 2$ から $2$ を引きます。

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{{(- 4)}^{4}}$

ステップ 8.2.2.2

$- 4$ を $4$ 乗します。

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{256}$

ステップ 8.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 8.2.3.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f' (- 2) = - \frac{- 4}{256}$

ステップ 8.2.3.2

$- 4$ と $256$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.3.2.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$f' (- 2) = - \frac{4 (- 1)}{256}$

ステップ 8.2.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.2.2.1

$4$ を $256$ で因数分解します。

$f' (- 2) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 64}$

ステップ 8.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$f' (- 2) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 64}$

ステップ 8.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$f' (- 2) = - \frac{- 1}{64}$

ステップ 8.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 2) = \frac{1}{64}$

ステップ 8.2.4

最終的な答えは $\frac{1}{64}$ です。

$\frac{1}{64}$

ステップ 8.3

$x = - 2$ で微分係数は $\frac{1}{64}$ です。これは正の値なので、関数は $(- 4, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- 4, 0)$ で増加

ステップ 9

区間 $(0, 2)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = - \frac{(1) ((1) + 4)}{{((1) - 2)}^{4}}$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$1 + 4$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{{(1 - 2)}^{4}}$

ステップ 9.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{{(- 1)}^{4}}$

ステップ 9.2.2.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{1}$

ステップ 9.2.3

式を簡約します。

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ステップ 9.2.3.1

$1$ と $4$ をたし算します。

$f' (1) = - \frac{5}{1}$

ステップ 9.2.3.2

$5$ を $1$ で割ります。

$f' (1) = - 1 \cdot 5$

ステップ 9.2.3.3

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f' (1) = - 5$

ステップ 9.2.4

最終的な答えは $- 5$ です。

$- 5$

ステップ 9.3

$x = 1$ で微分係数は $- 5$ です。これは負の値なので、関数は $(0, 2)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, 2)$ で減少

ステップ 10

区間 $(2, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f' (3) = - \frac{(3) ((3) + 4)}{{((3) - 2)}^{4}}$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$3$ と $4$ をたし算します。

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{{(3 - 2)}^{4}}$

ステップ 10.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

$3$ から $2$ を引きます。

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{1^{4}}$

ステップ 10.2.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{1}$

ステップ 10.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.1

$3$ に $7$ をかけます。

$f' (3) = - \frac{21}{1}$

ステップ 10.2.3.2

$21$ を $1$ で割ります。

$f' (3) = - 1 \cdot 21$

ステップ 10.2.3.3

$- 1$ に $21$ をかけます。

$f' (3) = - 21$

ステップ 10.2.4

最終的な答えは $- 21$ です。

$- 21$

ステップ 10.3

$x = 3$ で微分係数は $- 21$ です。これは負の値なので、関数は $(2, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(2, \infty)$ で減少

ステップ 11

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- 4, 0)$ で増加

$(- \infty, - 4), (0, 2), (2, \infty)$ で減少

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例