微分積分例

$2 x - 2 \cos (x)$

ステップ 1

$2 x - 2 \cos (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = 2 x - 2 \cos (x)$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $2 x - 2 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

ステップ 2.1.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \cos (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$2 - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 2.1.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 - 2 (- \sin (x))$

ステップ 2.1.3.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = 2 + 2 \sin (x)$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 + 2 \sin (x)$ です。

$2 + 2 \sin (x)$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 + 2 \sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 + 2 \sin (x) = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$2 \sin (x) = - 2$

ステップ 3.3

$2 \sin (x) = - 2$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$2 \sin (x) = - 2$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{- 2}{2}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$- 2$ を $2$ で割ります。

$\sin (x) = - 1$

ステップ 3.4

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- 1)$

ステップ 3.5

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$x = - \frac{π}{2}$

ステップ 3.6

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 3.7

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 3.7.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 3.7.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 3.8

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.8.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.8.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.9

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 3.9.1

$2 π$ を $- \frac{π}{2}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

ステップ 3.9.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 3.9.3

分数をまとめます。

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ステップ 3.9.3.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 3.9.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 3.9.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.9.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 π - π}{2}$

ステップ 3.9.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{2}$

ステップ 3.9.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 3.10

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.11

答えをまとめます。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ です。

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$

ステップ 5

微分係数 $f' (x) = 2 + 2 \sin (x)$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = 2 x - 2 \cos (x)$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ です。

$(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1$ で置換えます。

$f' (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1) = 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

ステップ 6.2

最終的な答えは $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$ です。

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

ステップ 6.3

簡約します。

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

ステップ 6.4

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n - 1$ で微分係数は $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ で減少

ステップ 7

区間 $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1$ で置換えます。

$f' (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1) = 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

ステップ 7.2

最終的な答えは $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$ です。

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

ステップ 7.3

簡約します。

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

ステップ 7.4

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n + 1$ で微分係数は $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$ です。これは正の値なので、関数は $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ で増加

$(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

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