微分積分例

$lim_{x \to \infty} x \tan (\frac{1}{x})$

ステップ 1

$x \tan (\frac{1}{x})$ を $\frac{\tan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\tan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} \tan (\frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\tan (lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 2.1.2.2

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 2.1.2.3

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 2.1.3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\tan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.2

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.2.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.4

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.5.2

$\sec^{2} (\frac{1}{x})$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.5.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.5.3.1

正弦と余弦に関して $\sec (\frac{1}{x})$ を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{{(\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})})}^{2}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.5.3.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})}$ に当てはめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.5.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.5.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- (\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x})} \cdot \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.5.5

まとめる。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\frac{1}{x}) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.5.6

$1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x}) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.5.7

$- \frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x}) x^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.6

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

ステップ 2.3.7

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}}{- x^{- 2}}$

ステップ 2.3.8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})} (- x^{2})$

ステップ 2.5

因数をまとめます。

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ステップ 2.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})} x^{2}$

ステップ 2.5.2

$\frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})} x^{2}$

ステップ 2.5.3

$\frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}$

ステップ 2.6

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}$

ステップ 2.6.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}$

ステップ 2.7

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}$

ステップ 2.8

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}$ を ${(\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})})}^{2}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} {(\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})})}^{2}$

ステップ 2.9

$\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})}$ を $\sec (\frac{1}{x})$ に変換します。

$lim_{x \to \infty} \sec^{2} (\frac{1}{x})$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (\frac{1}{x})$ から極限値外側に移動させます。

${(lim_{x \to \infty} \sec (\frac{1}{x}))}^{2}$

ステップ 3.2

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\sec^{2} (lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})$

ステップ 4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\sec^{2} (0)$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1^{2}$

ステップ 5.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1$

微分積分 例

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