微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{3 x^{2} - 7 x}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2} - 7 x}$

ステップ 1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2} - 7 x}$

ステップ 1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{3 x^{2} - 7 x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]}$

ステップ 3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]}$

ステップ 3.3

総和則では、 $3 x^{2} - 7 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]}$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]}$

ステップ 3.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x]}$

ステップ 3.4.3

$2$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{6 x + \frac{d}{d x} [- 7 x]}$

ステップ 3.5

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.5.1

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{6 x - 7 \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{6 x - 7 \cdot 1}$

ステップ 3.5.3

$- 7$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{6 x - 7}$

ステップ 4

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{3}}{x}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.1

$x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (4 x^{2})}{x}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

ステップ 5.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (4 x^{2})}{x^{1}}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

ステップ 5.1.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (4 x^{2})}{x \cdot 1}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

ステップ 5.1.2.3

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (4 x^{2})}{x \cdot 1}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

ステップ 5.1.2.4

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{2}}{1}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

ステップ 5.1.2.5

$4 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

ステップ 5.2.1.2

$6$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{6 + \frac{- 7}{x}}$

ステップ 5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{6 - \frac{7}{x}}$

ステップ 6

$x$ が $\infty$ に近づくとき、分数 $\frac{7}{x}$ は $0$ に近づきます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{6 - 0}$

ステップ 7

分子が有界でなく、分母が定数に近づくので、分数 $\frac{4 x^{2}}{6 - 0}$ は無限大に近づきます。

$\infty$

微分積分 例

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