微分積分例

$x^{3} + y^{3} = 6 x y - 1$ , $(3, 2)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (6 x y - 1)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{3} + y^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $6 x y - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [6 x y]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x y$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.2.5

$y$ に $1$ をかけます。

$6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$6 (x y' + y) + 0$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$6 (x y') + 6 y + 0$

ステップ 3.4.2

$6 x y' + 6 y$ と $0$ をたし算します。

$6 x y' + 6 y$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 6 x y' + 6 y$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $6 x y'$ を引きます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 x y' = 6 y$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$3 y^{2} y' - 6 x y' = 6 y - 3 x^{2}$

ステップ 5.3

$3 y'$ を $3 y^{2} y' - 6 x y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$3 y'$ を $3 y^{2} y'$ で因数分解します。

$3 y' y^{2} - 6 x y' = 6 y - 3 x^{2}$

ステップ 5.3.2

$3 y'$ を $- 6 x y'$ で因数分解します。

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$

ステップ 5.3.3

$3 y'$ を $3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 x)$ で因数分解します。

$3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$

ステップ 5.4

$3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$ の各項を $3 (y^{2} - 2 x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$ の各項を $3 (y^{2} - 2 x)$ で割ります。

$\frac{3 y' (y^{2} - 2 x)}{3 (y^{2} - 2 x)} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y' (y^{2} - 2 x)}{3 (y^{2} - 2 x)} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

ステップ 5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (y^{2} - 2 x)}{y^{2} - 2 x} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

ステップ 5.4.2.2

$y^{2} - 2 x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (y^{2} - 2 x)}{y^{2} - 2 x} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

ステップ 5.4.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1.1

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1.1.1

$3$ を $6 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 (2 y)}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

ステップ 5.4.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{3 (2 y)}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

ステップ 5.4.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

ステップ 5.4.3.1.2

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1.2.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 2 x)}$

ステップ 5.4.3.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 2 x)}$

ステップ 5.4.3.1.2.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

ステップ 5.4.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

ステップ 5.4.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

ステップ 7

式の中の $x$ を $3$ に、 $y$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (2) - {(3)}^{2}}{{(2)}^{2} - 2 \cdot 3}$

ステップ 8

結果を簡約します。

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ステップ 8.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 - 3^{2}}{2^{2} - 2 \cdot 3}$

ステップ 8.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{4 - 1 \cdot 9}{2^{2} - 2 \cdot 3}$

ステップ 8.1.3

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\frac{4 - 9}{2^{2} - 2 \cdot 3}$

ステップ 8.1.4

$4$ から $9$ を引きます。

$\frac{- 5}{2^{2} - 2 \cdot 3}$

ステップ 8.2

分母を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 5}{4 - 2 \cdot 3}$

ステップ 8.2.2

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 5}{4 - 6}$

ステップ 8.2.3

$4$ から $6$ を引きます。

$\frac{- 5}{- 2}$

ステップ 8.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{5}{2}$

微分積分 例

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