微分積分例

$f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 1$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sin^{3} (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$2 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 (3 \sin^{2} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2.4

$3$ に $2$ をかけます。

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \sin (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + 0$

ステップ 1.1.4.2

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 \sin^{2} (x) \cos (x)$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.2.2.2

$f (x) = \sin^{2} (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$6 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.2.2.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.2.2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.2.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.2.2.4.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.2.2.5

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.2.2.6

指数を足して $\sin^{2} (x)$ に $\sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 1.2.2.6.1

$\sin (x)$ を移動させます。

$6 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.2.2.6.2

$\sin (x)$ に $\sin^{2} (x)$ をかけます。

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ステップ 1.2.2.6.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$6 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.2.2.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.2.2.6.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$6 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.2.2.7

$- 1$ を $\sin^{3} (x)$ の左に移動させます。

$6 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.2.2.8

$- 1 \sin^{3} (x)$ を $- \sin^{3} (x)$ に書き換えます。

$6 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.2.2.9

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.2.2.10

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.2.2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.2.2.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \cos (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.2.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x))$

ステップ 1.2.3.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

ステップ 1.2.4

簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

分配則を当てはめます。

$6 (- \sin^{3} (x)) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

ステップ 1.2.4.2

項をまとめます。

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ステップ 1.2.4.2.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$- 6 \sin^{3} (x) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

ステップ 1.2.4.2.2

$2$ に $6$ をかけます。

$- 6 \sin^{3} (x) + 12 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \sin (x)$

ステップ 1.2.4.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = 12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ です。

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

ステップ 2.2

$3 \sin (x)$ を $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$3 \sin (x)$ を $12 \cos^{2} (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

ステップ 2.2.2

$3 \sin (x)$ を $- 6 \sin^{3} (x)$ で因数分解します。

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 3 \sin (x) = 0$

ステップ 2.2.3

$3 \sin (x)$ を $- 3 \sin (x)$ で因数分解します。

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

ステップ 2.2.4

$3 \sin (x)$ を $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

ステップ 2.2.5

$3 \sin (x)$ を $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1$ で因数分解します。

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (x) = 0$

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 2.4

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 2.4.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.4.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 2.4.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 2.4.2.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.4.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.4.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.4.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.4.2.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.5

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $4 \cos^{2} (x)$ を $4 (1 - \sin^{2} (x))$ で置き換えます。

$4 (1 - \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 2.5.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

分配則を当てはめます。

$4 \cdot 1 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 2.5.2.2.2

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 2.5.2.2.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$4 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 2.5.2.3

項を加えて簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

$4$ から $1$ を引きます。

$- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

ステップ 2.5.2.3.2

$- 4 \sin^{2} (x)$ から $2 \sin^{2} (x)$ を引きます。

$- 6 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

ステップ 2.5.2.4

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- 6 \sin^{2} (x) = - 3$

ステップ 2.5.2.5

$- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ の各項を $- 6$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.5.1

$- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ の各項を $- 6$ で割ります。

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

ステップ 2.5.2.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.5.2.1

$- 6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

ステップ 2.5.2.5.2.1.2

$\sin^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 6}$

ステップ 2.5.2.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.5.3.1

$- 3$ と $- 6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.5.3.1.1

$- 3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 (1)}{- 6}$

ステップ 2.5.2.5.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.5.3.1.2.1

$- 3$ を $- 6$ で因数分解します。

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

ステップ 2.5.2.5.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

ステップ 2.5.2.5.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

ステップ 2.5.2.6

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.5.2.7

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.5.2.7.1

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.5.2.7.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.5.2.7.3

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.5.2.7.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.5.2.7.4.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 2.5.2.7.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 2.5.2.7.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 2.5.2.7.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.5.2.7.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 2.5.2.7.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.2.7.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.5.2.7.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.5.2.7.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.5.2.7.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.7.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.5.2.7.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 2.5.2.7.4.6.5

指数を求めます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.5.2.8

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.5.2.8.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.5.2.8.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.5.2.8.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.5.2.9

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.5.2.10

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.10.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 2.5.2.10.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.10.2.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2.10.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2.10.4

$π - \frac{π}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.10.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2.10.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.10.4.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2.10.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 2.5.2.10.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.10.4.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 2.5.2.10.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 2.5.2.10.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.10.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.5.2.10.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.5.2.10.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.5.2.10.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.5.2.10.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.5.2.11

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.11.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 2.5.2.11.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.11.2.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$x = - \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2.11.3

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

ステップ 2.5.2.11.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.11.4.1

$2 π + \frac{π}{4} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

ステップ 2.5.2.11.4.2

$\frac{5 π}{4}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{4} + π$ と隣接します。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 2.5.2.11.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.11.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.5.2.11.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.5.2.11.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.5.2.11.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.5.2.11.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.11.6.1

$2 π$ を $- \frac{π}{4}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{4} + 2 π$

ステップ 2.5.2.11.6.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2.11.6.3

分数をまとめます。

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ステップ 2.5.2.11.6.3.1

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2.11.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 2.5.2.11.6.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.2.11.6.4.1

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{8 π - π}{4}$

ステップ 2.5.2.11.6.4.2

$8 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{7 π}{4}$

ステップ 2.5.2.11.6.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{7 π}{4}$

ステップ 2.5.2.11.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.5.2.12

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.5.2.13

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.6

最終解は $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.7

$π + 2 π n$ と $π n$ を $2 π n$ にまとめます。

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 1$ で代入して求めた点は、 $(,)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(,)$

ステップ 3.2

$\frac{π}{4}$ を $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 1$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin^{3} (\frac{π}{4}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 1$

ステップ 3.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (\frac{π}{4}) = 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 1$

ステップ 3.2.2.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 1$

ステップ 3.2.2.1.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 1$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$2$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 1$

ステップ 3.2.2.1.3.3

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.3.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 1$

ステップ 3.2.2.1.3.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 1$

ステップ 3.2.2.1.3.4

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 1$

ステップ 3.2.2.1.4

$2$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{8}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 1$

ステップ 3.2.2.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.5.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2 (4)}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 1$

ステップ 3.2.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 1$

ステップ 3.2.2.1.5.3

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 1$

ステップ 3.2.2.1.6

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.6.1

$2$ を $2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (\sqrt{2})}{4} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 1$

ステップ 3.2.2.1.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.6.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 1$

ステップ 3.2.2.1.6.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 1$

ステップ 3.2.2.1.6.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 1$

ステップ 3.2.2.1.7

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1$

ステップ 3.2.2.1.8

$3$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 1$

ステップ 3.2.2.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{π}{4}) = 1 + \frac{\sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.2.2.2.2

$\sqrt{2}$ と $3 \sqrt{2}$ をたし算します。

$f (\frac{π}{4}) = 1 + \frac{4 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.2.2.2.3

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.3.1

$2$ を $4 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$f (\frac{π}{4}) = 1 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

ステップ 3.2.2.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (\frac{π}{4}) = 1 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

ステップ 3.2.2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{4}) = 1 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{4}) = 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{1}$

ステップ 3.2.2.2.3.2.4

$2 \sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 2 \sqrt{2}$

ステップ 3.2.2.3

最終的な答えは $1 + 2 \sqrt{2}$ です。

$1 + 2 \sqrt{2}$

ステップ 3.3

$f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 1$ で代入して $\frac{π}{4}$ 求めた点は、 $(\frac{π}{4}, 1 + 2 \sqrt{2})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{π}{4}, 1 + 2 \sqrt{2})$

ステップ 3.4

変曲点になりうる点を判定します。

$(,), (\frac{π}{4}, 1 + 2 \sqrt{2})$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty,) \cup (, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty,)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 0.1$ で置換えます。

$f'' (- 0.1) = 12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$

ステップ 5.2

最終的な答えは $12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$ です。

$12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$

ステップ 5.3

$- 0.1$ で二次導関数は $- 0.88059055$ です。これは負の値なので、 $(- \infty,)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty,)$ で減少

ステップ 6

区間 $(, \frac{π}{4})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.39269908$ で置換えます。

$f'' (0.39269908) = 12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$

ステップ 6.2

最終的な答えは $12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$ です。

$12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$

ステップ 6.3

$0.39269908$ で二次導関数は $2.43538245$ です。これは正の値なので、 $(, \frac{π}{4})$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(, \frac{π}{4})$ で増加

ステップ 7

区間 $(\frac{π}{4}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.88539816$ で置換えます。

$f'' (0.88539816) = 12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$

ステップ 7.2

最終的な答えは $12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$ です。

$12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$

ステップ 7.3

$0.88539816$ で二次導関数は $- 1.38422929$ です。これは負の値なので、 $(\frac{π}{4}, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(\frac{π}{4}, \infty)$ で減少

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(,), (\frac{π}{4}, 1 + 2 \sqrt{2})$ です。

$(,), (\frac{π}{4}, 1 + 2 \sqrt{2})$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例