微分積分例

$7 x \sqrt[3]{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [7 x \cdot x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 1.2

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x^{\frac{1}{3}}$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [7 (x^{\frac{1}{3}} x)]$

ステップ 1.2.2

$x^{\frac{1}{3}}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [7 (x^{\frac{1}{3}} x^{1})]$

ステップ 1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{3} + 1}]$

ステップ 1.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}]$

ステップ 1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1 + 3}{3}}]$

ステップ 1.2.5

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{4}{3}}]$

ステップ 1.3

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{\frac{4}{3}}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$

ステップ 1.4

$n = \frac{4}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1})$

ステップ 1.5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 1.6

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 1.7

公分母の分子をまとめます。

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 1.8

分子を簡約します。

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ステップ 1.8.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}})$

ステップ 1.8.2

$4$ から $3$ を引きます。

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.9

$\frac{4}{3}$ と $x^{\frac{1}{3}}$ をまとめます。

$7 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 1.10

$7$ と $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{7 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

ステップ 1.11

$4$ に $7$ をかけます。

$f' (x) = \frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{28}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ の微分係数は $\frac{28}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ です。

$\frac{28}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

ステップ 2.6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

ステップ 2.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 2.8

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{28}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 2.9

$\frac{28}{3}$ に $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ をかけます。

$\frac{28 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3}$

ステップ 2.10

掛け算します。

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ステップ 2.10.1

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{28 x^{- \frac{2}{3}}}{9}$

ステップ 2.10.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{28}{9 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{28}{9}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{28}{9 x^{\frac{2}{3}}}$ の微分係数は $\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ です。

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

ステップ 3.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ を ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

ステップ 3.2.2

${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

ステップ 3.2.2.2

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

ステップ 3.2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{3}}]$

ステップ 3.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{3}}]$

ステップ 3.3

$n = - \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

ステップ 3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 3.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 3.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

ステップ 3.7.2

$- 2$ から $3$ を引きます。

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

ステップ 3.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

ステップ 3.9

$x^{- \frac{5}{3}}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{28}{9} (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

ステップ 3.10

$\frac{28}{9}$ に $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ をかけます。

$- \frac{28 (x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2)}{9 \cdot 3}$

ステップ 3.11

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

$2$ に $28$ をかけます。

$- \frac{56 x^{- \frac{5}{3}}}{9 \cdot 3}$

ステップ 3.11.2

$9$ に $3$ をかけます。

$- \frac{56 x^{- \frac{5}{3}}}{27}$

ステップ 3.11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{5}{3}}$ を分母に移動させます。

$f''' (x) = - \frac{56}{27 x^{\frac{5}{3}}}$

微分積分 例

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