微分積分例

$y = \sec (x) \csc (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = \csc (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sec (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 1.3

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\sec (x) \tan (x))$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - \cot (x) \csc (x) \sec (x) + \csc (x) \sec (x) \tan (x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- \cot (x) \csc (x) \sec (x) + \csc (x) \sec (x) \tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \cot (x) \csc (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \cot (x) \csc (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cot (x) \csc (x) \sec (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x) \sec (x)]$ です。

$- \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = \cot (x) \csc (x)$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- (\cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

ステップ 2.2.3

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$- (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

ステップ 2.2.4

$f (x) = \cot (x)$ および $g (x) = \csc (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

ステップ 2.2.5

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$- (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

ステップ 2.2.6

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$- (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

ステップ 2.2.7

$\cot (x)$ を $1$ 乗します。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

ステップ 2.2.8

$\cot (x)$ を $1$ 乗します。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

ステップ 2.2.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

ステップ 2.2.10

$1$ と $1$ をたし算します。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

ステップ 2.2.11

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

ステップ 2.2.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

ステップ 2.2.13

$1$ と $2$ をたし算します。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$f (x) = \csc (x) \sec (x)$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x)]$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x)]$

ステップ 2.3.3

$f (x) = \csc (x)$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

ステップ 2.3.4

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

ステップ 2.3.5

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

ステップ 2.3.6

指数を足して $\sec (x)$ に $\sec^{2} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

$\sec^{2} (x)$ を移動させます。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) (\sec^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

ステップ 2.3.6.2

$\sec^{2} (x)$ に $\sec (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.2.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x)) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

ステップ 2.3.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) {\sec (x)}^{2 + 1} + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

ステップ 2.3.6.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x)) + \sec (x) (- \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

ステップ 2.4.2

分配則を当てはめます。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

ステップ 2.4.3

分配則を当てはめます。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

ステップ 2.4.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + 1 (\sec (x) (\csc (x) \cot^{2} (x))) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

ステップ 2.4.4.2

$\sec (x)$ に $1$ をかけます。

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\csc (x) \cot^{2} (x)) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

ステップ 2.4.4.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + 1 (\sec (x) (\csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

ステップ 2.4.4.4

$\sec (x)$ に $1$ をかけます。

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

ステップ 2.4.4.5

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) (\csc (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

ステップ 2.4.4.6

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) (\csc (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

ステップ 2.4.4.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x) + \csc (x) \sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} (\csc (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

ステップ 2.4.4.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) (\csc (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

ステップ 2.4.4.9

$\tan (x) \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))$ の因数を並べ替えます。

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) - \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)$

ステップ 2.4.4.10

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)$ から $\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)$ を引きます。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x)$

ステップ 2.4.5

項を並べ替えます。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x)$

ステップ 2.4.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \csc (x) \sec (x)$

ステップ 2.4.6.2

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

ステップ 2.4.6.3

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

ステップ 2.4.6.4

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.4.1

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

ステップ 2.4.6.4.2

共通因数を約分します。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

ステップ 2.4.6.4.3

式を書き換えます。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} \sec (x)$

ステップ 2.4.6.5

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} \sec (x)$

ステップ 2.4.6.6

分数を分解します。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x)$

ステップ 2.4.6.7

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) \sec (x)$

ステップ 2.4.6.8

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \sec (x) \tan (x) \sec (x)$

ステップ 2.4.6.9

$\sec (x) \tan (x) \sec (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.9.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x)$

ステップ 2.4.6.9.2

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x)$

ステップ 2.4.6.9.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

ステップ 2.4.6.9.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \sec^{2} (x) \tan (x)$

微分積分 例

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