微分積分例

$x = \sqrt{5} y^{2}$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 1.1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt{5} y^{2}$ の平方完成。

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ステップ 1.1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = \sqrt{5}$

$b = 0$

$c = 0$

ステップ 1.1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{0}{2 \sqrt{5}}$

ステップ 1.1.1.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.2.1

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (0)}{2 \sqrt{5}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \sqrt{5}$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (0)}{2 (\sqrt{5})}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \sqrt{5}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{0}{\sqrt{5}}$

ステップ 1.1.1.3.2.2

$0$ を $\sqrt{5}$ で割ります。

$d = 0$

ステップ 1.1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 \sqrt{5}}$

ステップ 1.1.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e = 0 - \frac{0}{4 \sqrt{5}}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.2

$0$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.4.2.1.2.1

$4$ を $0$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 (0)}{4 \sqrt{5}}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.4.2.1.2.2.1

$4$ を $4 \sqrt{5}$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 (0)}{4 (\sqrt{5})}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 0}{4 \sqrt{5}}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.2.2.3

式を書き換えます。

$e = 0 - \frac{0}{\sqrt{5}}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.3

$0$ を $\sqrt{5}$ で割ります。

$e = 0 - 0$

ステップ 1.1.1.4.2.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e = 0 + 0$

ステップ 1.1.1.4.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$e = 0$

ステップ 1.1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $\sqrt{5} y^{2}$ に代入します。

$\sqrt{5} y^{2}$

ステップ 1.1.2

$x$ は新しい右辺と等しいとします。

$x = \sqrt{5} y^{2}$

ステップ 1.2

頂点形、 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \sqrt{5}$

$h = 0$

$k = 0$

ステップ 1.3

$a$ の値が正なので、放物線は右に開です。

右に開く

ステップ 1.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(0, 0)$

ステップ 1.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 1.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot \sqrt{5}}$

ステップ 1.5.3

簡約します。

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ステップ 1.5.3.1

$\frac{1}{4 \cdot \sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{1}{4 \cdot \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

ステップ 1.5.3.2

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.5.3.2.1

$\frac{1}{4 \cdot \sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{5}}{4 \cdot \sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 1.5.3.2.2

$\sqrt{5}$ を移動させます。

$\frac{\sqrt{5}}{4 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

ステップ 1.5.3.2.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{5}}{4 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}$

ステップ 1.5.3.2.4

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{5}}{4 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}$

ステップ 1.5.3.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{5}}{4 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.5.3.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{5}}{4 {\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 1.5.3.2.7

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 1.5.3.2.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{5}}{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.5.3.2.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{5}}{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.5.3.2.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{5}}{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.5.3.2.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.2.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{5}}{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.5.3.2.7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{5}}{4 \cdot 5^{1}}$

ステップ 1.5.3.2.7.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{5}}{4 \cdot 5}$

ステップ 1.5.3.3

$4$ に $5$ をかけます。

$\frac{\sqrt{5}}{20}$

ステップ 1.6

焦点を求めます。

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ステップ 1.6.1

放物線の焦点は、放物線が左右に開の場合、 $p$ をx座標 $h$ に加えて求められます。

$(h + p, k)$

ステップ 1.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\frac{\sqrt{5}}{20}, 0)$

ステップ 1.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$y = 0$

ステップ 1.8

準線を求めます。

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ステップ 1.8.1

放物線の準線は、放物線が左右に開の場合、頂点のx座標 $h$ から $p$ を引いて求められる垂直線です。

$x = h - p$

ステップ 1.8.2

$p$ と $h$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$x = - \frac{\sqrt{5}}{20}$

ステップ 1.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：右に開

頂点： $(0, 0)$

焦点： $(\frac{\sqrt{5}}{20}, 0)$

対称軸： $y = 0$

準線： $x = - \frac{\sqrt{5}}{20}$

方向：右に開

頂点： $(0, 0)$

焦点： $(\frac{\sqrt{5}}{20}, 0)$

対称軸： $y = 0$

準線： $x = - \frac{\sqrt{5}}{20}$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 2.1

$x$ 値の $1$ を $f (x) = \frac{\sqrt{x \sqrt{5} \cdot 5}}{5}$ に代入します。この場合、点は $(1, 0.6687403)$ です。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{\sqrt{(1) \sqrt{5} \cdot 5}}{5}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1.1

$\sqrt{5}$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{\sqrt{\sqrt{5} \cdot 5}}{5}$

ステップ 2.1.2.1.2

$5$ を $\sqrt{5}$ の左に移動させます。

$f (1) = \frac{\sqrt{5 \sqrt{5}}}{5}$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $\frac{\sqrt{5 \sqrt{5}}}{5}$ です。

$y = \frac{\sqrt{5 \sqrt{5}}}{5}$

ステップ 2.1.3

$\frac{\sqrt{5 \sqrt{5}}}{5}$ を10進数に変換します。

$= 0.6687403$

ステップ 2.2

$x$ 値の $1$ を $f (x) = - \frac{\sqrt{x \sqrt{5} \cdot 5}}{5}$ に代入します。この場合、点は $(1, - 0.6687403)$ です。

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ステップ 2.2.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = - \frac{\sqrt{(1) \sqrt{5} \cdot 5}}{5}$

ステップ 2.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$\sqrt{5}$ に $1$ をかけます。

$f (1) = - \frac{\sqrt{\sqrt{5} \cdot 5}}{5}$

ステップ 2.2.2.1.2

$5$ を $\sqrt{5}$ の左に移動させます。

$f (1) = - \frac{\sqrt{5 \sqrt{5}}}{5}$

ステップ 2.2.2.2

最終的な答えは $- \frac{\sqrt{5 \sqrt{5}}}{5}$ です。

$y = - \frac{\sqrt{5 \sqrt{5}}}{5}$

ステップ 2.2.3

$- \frac{\sqrt{5 \sqrt{5}}}{5}$ を10進数に変換します。

$= - 0.6687403$

ステップ 2.3

$x$ 値の $2$ を $f (x) = \frac{\sqrt{x \sqrt{5} \cdot 5}}{5}$ に代入します。この場合、点は $(2, 0.9457416)$ です。

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ステップ 2.3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = \frac{\sqrt{(2) \sqrt{5} \cdot 5}}{5}$

ステップ 2.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$5$ に $2$ をかけます。

$f (2) = \frac{\sqrt{10 \sqrt{5}}}{5}$

ステップ 2.3.2.2

最終的な答えは $\frac{\sqrt{10 \sqrt{5}}}{5}$ です。

$y = \frac{\sqrt{10 \sqrt{5}}}{5}$

ステップ 2.3.3

$\frac{\sqrt{10 \sqrt{5}}}{5}$ を10進数に変換します。

$= 0.9457416$

ステップ 2.4

$x$ 値の $2$ を $f (x) = - \frac{\sqrt{x \sqrt{5} \cdot 5}}{5}$ に代入します。この場合、点は $(2, - 0.9457416)$ です。

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ステップ 2.4.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = - \frac{\sqrt{(2) \sqrt{5} \cdot 5}}{5}$

ステップ 2.4.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$5$ に $2$ をかけます。

$f (2) = - \frac{\sqrt{10 \sqrt{5}}}{5}$

ステップ 2.4.2.2

最終的な答えは $- \frac{\sqrt{10 \sqrt{5}}}{5}$ です。

$y = - \frac{\sqrt{10 \sqrt{5}}}{5}$

ステップ 2.4.3

$- \frac{\sqrt{10 \sqrt{5}}}{5}$ を10進数に変換します。

$= - 0.9457416$

ステップ 2.5

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.67 \\ 1 & - 0.67 \\ 2 & 0.95 \\ 2 & - 0.95 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：右に開

頂点： $(0, 0)$

焦点： $(\frac{\sqrt{5}}{20}, 0)$

対称軸： $y = 0$

準線： $x = - \frac{\sqrt{5}}{20}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.67 \\ 1 & - 0.67 \\ 2 & 0.95 \\ 2 & - 0.95 \end{array}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例