微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3}}{\ln (x - 2)}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{5 x - 3}}{lim_{x \to \infty} \ln (x - 2)}$

ステップ 1.2

指数 $5 x - 3$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{5 x - 3}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x - 2)}$

ステップ 1.3

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3}}{\ln (x - 2)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x - 3}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x - 3}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

ステップ 3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 5 x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x - 3$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $5 x - 3$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

ステップ 3.3

総和則では、 $5 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

ステップ 3.4

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

ステップ 3.6

$5$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} (5 + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

ステップ 3.7

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} (5 + 0)}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

ステップ 3.8

$5$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} \cdot 5}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

ステップ 3.9

$5$ を $e^{5 x - 3}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 \cdot e^{5 x - 3}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

ステップ 3.10

$5$ に $e^{5 x - 3}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

ステップ 3.11

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.11.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 2$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 3.11.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 3.11.3

$u$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 3.12

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{x - 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}$

ステップ 3.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{x - 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}$

ステップ 3.14

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{x - 2} (1 + 0)}$

ステップ 3.15

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{x - 2} \cdot 1}$

ステップ 3.16

$\frac{1}{x - 2}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{x - 2}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x - 3} (x - 2)$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$lim_{x \to \infty} 5 \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x - 3} \cdot lim_{x \to \infty} x - 2$

ステップ 5.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$5 \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x - 3} \cdot lim_{x \to \infty} x - 2$

ステップ 6

指数 $5 x - 3$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{5 x - 3}$ が $\infty$ に近づきます。

$5 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} x - 2$

ステップ 7

極限を求めます。

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ステップ 7.1

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$5 \cdot \infty \cdot \infty$

ステップ 7.2

答えを簡約します。

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ステップ 7.2.1

0でない定数に無限大倍すると無限大です。

$\infty \cdot \infty$

ステップ 7.2.2

無限大掛ける無限大は無限大です。

$\infty$

微分積分 例

微分積分例