微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{x^{4}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} x^{4}}$

ステップ 1.2

指数 $x^{2}$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x^{2}}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{4}}$

ステップ 1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{x^{4}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 3.4.2

$2 e^{x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 3.5

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{4 x^{3}}$

ステップ 4

約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$2$ を $2 x e^{x^{2}}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{4 x^{3}}$

ステップ 4.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$2$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{2 (2 x^{3})}$

ステップ 4.1.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{2 (2 x^{3})}$

ステップ 4.1.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x e^{x^{2}}}{2 x^{3}}$

ステップ 4.2

$x$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$x$ を $x e^{x^{2}}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (e^{x^{2}})}{2 x^{3}}$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$x$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (e^{x^{2}})}{x (2 x^{2})}$

ステップ 4.2.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x e^{x^{2}}}{x (2 x^{2})}$

ステップ 4.2.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{2 x^{2}}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 x^{2}}$

ステップ 5.1.2

指数 $x^{2}$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x^{2}}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x^{2}}$

ステップ 5.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 5.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{2 x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

ステップ 5.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

ステップ 5.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

ステップ 5.3.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

ステップ 5.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

ステップ 5.3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

ステップ 5.3.4.2

$2 e^{x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

ステップ 5.3.5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 5.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{2 (2 x)}$

ステップ 5.3.7

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{4 x}$

ステップ 5.4

約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

$2$ を $2 x e^{x^{2}}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{4 x}$

ステップ 5.4.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.2.1

$2$ を $4 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{2 (2 x)}$

ステップ 5.4.1.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{2 (2 x)}$

ステップ 5.4.1.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x e^{x^{2}}}{2 x}$

ステップ 5.4.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x e^{x^{2}}}{2 x}$

ステップ 5.4.2.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{2}$

ステップ 6

関数 $e^{x^{2}}$ が $\infty$ に近づくので、関数は正の定数 $\frac{1}{2}$ 倍 $\infty$ に近づきます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

定数の倍数 $\frac{1}{2}$ を削除した極限を考えます。

$lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}$

ステップ 6.2

指数 $x^{2}$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x^{2}}$ が $\infty$ に近づきます。

$\infty$

微分積分 例

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