微分積分例

$f (x) = (x^{3} + 7) e^{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x^{3} + 7$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{3} + 7) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(x^{3} + 7) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

総和則では、 $x^{3} + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$(x^{3} + 7) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

ステップ 1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{3} + 7) e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

ステップ 1.3.3

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{3} + 7) e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + 0)$

ステップ 1.3.4

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$(x^{3} + 7) e^{x} + e^{x} (3 x^{2})$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

分配則を当てはめます。

$x^{3} e^{x} + 7 e^{x} + e^{x} (3 x^{2})$

ステップ 1.4.2

項を並べ替えます。

$e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2} + 7 e^{x}$

ステップ 1.4.3

$e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2} + 7 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 7 e^{x}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 7 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

ステップ 2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

ステップ 2.2.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2} e^{x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ です。

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

ステップ 2.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

ステップ 2.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [7 e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 e^{x}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 7 e^{x}$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x}) + 3 (e^{x} (2 x)) + 7 e^{x}$

ステップ 2.5.2

項をまとめます。

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ステップ 2.5.2.1

$2$ に $3$ をかけます。

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 x^{2} e^{x} + 6 (e^{x} (x)) + 7 e^{x}$

ステップ 2.5.2.2

$e^{x} (3 x^{2})$ と $3 x^{2} e^{x}$ をたし算します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$e^{x}$ を移動させます。

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 6 e^{x} x + 7 e^{x}$

ステップ 2.5.2.2.2

$3 x^{2} e^{x}$ と $3 x^{2} e^{x}$ をたし算します。

$x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 6 e^{x} x + 7 e^{x}$

ステップ 2.5.3

項を並べ替えます。

$e^{x} x^{3} + 6 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x + 7 e^{x}$

ステップ 2.5.4

$e^{x} x^{3} + 6 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x + 7 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} + 7 e^{x}$

ステップ 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} + 7 e^{x}$ です。

$x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} + 7 e^{x}$

微分積分 例

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