微分積分例

$h (θ) = θ \sin (θ)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (θ) = θ$ および $g (θ) = \sin (θ)$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ は $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$θ \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

ステップ 1.2

$θ$ に関する $\sin (θ)$ の微分係数は $\cos (θ)$ です。

$θ \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

ステップ 1.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ は $n θ^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$θ \cos (θ) + \sin (θ) \cdot 1$

ステップ 1.3.2

$\sin (θ)$ に $1$ をかけます。

$f' (θ) = θ \cos (θ) + \sin (θ)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $θ \cos (θ) + \sin (θ)$ の $θ$ に関する積分は $\frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ です。

$\frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (θ) = θ$ および $g (θ) = \cos (θ)$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ は $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$θ \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \cos (θ) \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

ステップ 2.2.2

$θ$ に関する $\cos (θ)$ の微分係数は $- \sin (θ)$ です。

$θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ は $n θ^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot 1 + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

ステップ 2.2.4

$\cos (θ)$ に $1$ をかけます。

$θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

ステップ 2.3

$θ$ に関する $\sin (θ)$ の微分係数は $\cos (θ)$ です。

$θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) + \cos (θ)$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

$\cos (θ)$ と $\cos (θ)$ をたし算します。

$θ (- \sin (θ)) + 2 \cos (θ)$

ステップ 2.4.2

項を並べ替えます。

$f'' (θ) = - θ \sin (θ) + 2 \cos (θ)$

ステップ 3

$θ$ に関する $h (θ)$ の二次導関数は $- θ \sin (θ) + 2 \cos (θ)$ です。

$- θ \sin (θ) + 2 \cos (θ)$

微分積分 例

微分積分例