微分積分例

$f (x) = 2 x^{2} + 2 y^{2} - \ln (1 - x^{2} - y^{2}) + 1$

ステップ 1

総和則では、 $2 x^{2} + 2 y^{2} - \ln (1 - x^{2} - y^{2}) + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3

$2 y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2 y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$4 x + 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (1 - x^{2} - y^{2})$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (1 - x^{2} - y^{2})]$ です。

$4 x + 0 - \frac{d}{d x} [\ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 - x^{2} - y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x^{2} - y^{2}$ とします。

$4 x + 0 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - x^{2} - y^{2}]) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$4 x + 0 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2} - y^{2}]) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $1 - x^{2} - y^{2}$ で置き換えます。

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2} - y^{2}]) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.3

総和則では、 $1 - x^{2} - y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ です。

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}])) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.7

$- y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (0 - (2 x) + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (0 - 2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.9

$0$ から $2 x$ を引きます。

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (- 2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.10

$- 2 x$ と $0$ をたし算します。

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (- 2 x)) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.11

$- 2$ と $\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}}$ をまとめます。

$4 x + 0 - (\frac{- 2}{1 - x^{2} - y^{2}} x) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.12

$\frac{- 2}{1 - x^{2} - y^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$4 x + 0 - \frac{- 2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.13

分数の前に負数を移動させます。

$4 x + 0 - - \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.14

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$4 x + 0 + 1 \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.15

$\frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}}$ に $1$ をかけます。

$4 x + 0 + \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 x + 0 + \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + 0$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

項をまとめます。

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ステップ 6.1.1

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$4 x + \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + 0$

ステップ 6.1.2

$4 x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - x^{2} - y^{2}}{1 - x^{2} - y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{4 x (1 - x^{2} - y^{2})}{1 - x^{2} - y^{2}} + \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + 0$

ステップ 6.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 x (1 - x^{2} - y^{2}) + 2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + 0$

ステップ 6.1.4

$\frac{4 x (1 - x^{2} - y^{2}) + 2 x}{1 - x^{2} - y^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 x (1 - x^{2} - y^{2}) + 2 x}{1 - x^{2} - y^{2}}$

ステップ 6.2

項を並べ替えます。

$\frac{4 x (1 - x^{2} - y^{2}) + 2 x}{- x^{2} - y^{2} + 1}$

微分積分 例

微分積分例