微分積分例

$f (x) = 2 x^{\frac{4}{3}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x^{2} - 4 x + 1$

ステップ 1

総和則では、 $2 x^{\frac{4}{3}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x^{2} - 4 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{4}{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{\frac{4}{3}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2

$n = \frac{4}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$2 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$2 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$2 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.6.2

$4$ から $3$ を引きます。

$2 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.7

$\frac{4}{3}$ と $x^{\frac{1}{3}}$ をまとめます。

$2 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.8

$2$ と $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.9

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- \frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ の微分係数は $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ です。

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.6.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.7

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.8

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.9

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.10

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.11

共通因数を約分します。

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.12

$x^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 4 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 4 + 0$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 4$

ステップ 7.2

項を並べ替えます。

$2 x - x^{\frac{1}{2}} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - 4$

微分積分 例

微分積分例