微分積分例

$f (x) = 2 x^{3} \cdot (6 x) - \frac{1}{x} + 3 e^{x} - \sin (x)$

ステップ 1

総和則では、 $2 x^{3} \cdot (6 x) - \frac{1}{x} + 3 e^{x} - \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3} \cdot (6 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} \cdot (6 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} \cdot (6 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [12 x^{3} \cdot x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [12 (x^{1} x^{3})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [12 x^{1 + 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 2.4

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [12 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 2.5

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{4}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$12 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 2.6

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 2.7

$4$ に $12$ をかけます。

$48 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$48 x^{3} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$48 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$48 x^{3} - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$48 x^{3} - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 3.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$48 x^{3} + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 3.6

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$48 x^{3} + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 3.7

$\frac{1}{x}$ に $0$ をかけます。

$48 x^{3} + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 3.8

$x^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$48 x^{3} + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$48 x^{3} + x^{- 2} + 3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$48 x^{3} + x^{- 2} + 3 e^{x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 5

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$48 x^{3} + x^{- 2} + 3 e^{x} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 5.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$48 x^{3} + x^{- 2} + 3 e^{x} - \cos (x)$

ステップ 6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$48 x^{3} + \frac{1}{x^{2}} + 3 e^{x} - \cos (x)$

微分積分 例

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