微分積分例

$f (x) = 2 x^{3.1} - \frac{4}{x^{5}} + 4 \sqrt{x^{5}} - x$

ステップ 1

総和則では、 $2 x^{3.1} - \frac{4}{x^{5}} + 4 \sqrt{x^{5}} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3.1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3.1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3.1}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3.1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3.1}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3.1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.2

$n = 3.1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3.1 x^{2.1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.3

$3.1$ に $2$ をかけます。

$6.2 x^{2.1} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{5}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{4}{x^{5}}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ です。

$6.2 x^{2.1} - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{x^{5}}$ を ${(x^{5})}^{- 1}$ に書き換えます。

$6.2 x^{2.1} - 4 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{5}$ とします。

$6.2 x^{2.1} - 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6.2 x^{2.1} - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{5}$ で置き換えます。

$6.2 x^{2.1} - 4 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.4

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6.2 x^{2.1} - 4 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.5

${(x^{5})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6.2 x^{2.1} - 4 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.5.2

$5$ に $- 2$ をかけます。

$6.2 x^{2.1} - 4 (- x^{- 10} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.6

$5$ に $- 1$ をかけます。

$6.2 x^{2.1} - 4 (- 5 x^{- 10} x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.7

指数を足して $x^{- 10}$ に $x^{4}$ を掛けます。

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ステップ 3.7.1

$x^{4}$ を移動させます。

$6.2 x^{2.1} - 4 (- 5 (x^{4} x^{- 10})) + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6.2 x^{2.1} - 4 (- 5 x^{4 - 10}) + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.7.3

$4$ から $10$ を引きます。

$6.2 x^{2.1} - 4 (- 5 x^{- 6}) + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.8

$- 5$ に $- 4$ をかけます。

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{5}}$ を $x^{\frac{5}{2}}$ に書き換えます。

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{\frac{5}{2}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ です。

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.3

$n = \frac{5}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.6

公分母の分子をまとめます。

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.7

分子を簡約します。

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ステップ 4.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.7.2

$5$ から $2$ を引きます。

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.8

$\frac{5}{2}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + 4 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.9

$4$ と $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ をまとめます。

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + \frac{4 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.10

$5$ に $4$ をかけます。

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + \frac{20 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.11

$2$ を $20 x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.12

共通因数を約分します。

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ステップ 4.12.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.12.2

共通因数を約分します。

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.12.3

式を書き換えます。

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.12.4

$10 x^{\frac{3}{2}}$ を $1$ で割ります。

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + 10 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 5

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + 10 x^{\frac{3}{2}} - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + 10 x^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot 1$

ステップ 5.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + 10 x^{\frac{3}{2}} - 1$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$6.2 x^{2.1} + 20 \frac{1}{x^{6}} + 10 x^{\frac{3}{2}} - 1$

ステップ 6.2

$20$ と $\frac{1}{x^{6}}$ をまとめます。

$6.2 x^{2.1} + \frac{20}{x^{6}} + 10 x^{\frac{3}{2}} - 1$

ステップ 6.3

項を並べ替えます。

$\frac{20}{x^{6}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 6.2 x^{2.1} - 1$

微分積分 例

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