微分積分例

$f (x) = 2 \arcsin (\frac{x - 1}{u})$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \arcsin (\frac{x - 1}{u})$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x - 1}{u})]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x - 1}{u})]$

ステップ 2

$f (x) = \arcsin (x)$ および $g (x) = \frac{x - 1}{u}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{x - 1}{u}$ とします。

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\arcsin (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ です。

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{x - 1}{u}$ で置き換えます。

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{u}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x - 1}{u}$ の微分係数は $\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]$ です。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 3.3

$\frac{1}{u}$ に $\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ をかけます。

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.4

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.6

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (1 + 0)$

ステップ 3.7

式を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \cdot 1$

ステップ 3.7.2

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

積の法則を $\frac{x - 1}{u}$ に当てはめます。

$\frac{2}{u \sqrt{1 - \frac{{(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2}}{u^{2}} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

ステップ 4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

ステップ 4.2.3

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$ を $\frac{2}{u (\frac{1}{u} \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}})}$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.3.1

$\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}$ を ${(\frac{1}{u})}^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.3.1.1

$u^{2} - {(x - 1)}^{2}$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2}}}}$

ステップ 4.2.3.1.2

$u^{2}$ から完全累乗 $u^{2}$ を因数分解します。

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2} \cdot 1}}}$

ステップ 4.2.3.1.3

分数 $\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$\frac{2}{u \sqrt{{(\frac{1}{u})}^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}}$

ステップ 4.2.3.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2}{u (\frac{1}{u} \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}})}$

ステップ 4.2.4

$\frac{1}{u}$ と $\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{u \frac{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

ステップ 4.2.5

$u$ と $\frac{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}$ をまとめます。

$\frac{2}{\frac{u \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

ステップ 4.2.6

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{\frac{u \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

ステップ 4.2.6.2

$\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{2}{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}$

微分積分 例

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