微分積分例

$f (x) = 3 e^{x} + x e^{x}$

ステップ 1

総和則では、 $3 e^{x} + x e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3 e^{x} + \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 e^{x} + x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3 e^{x} + x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 e^{x} + x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

ステップ 3.4

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$3 e^{x} + x e^{x} + e^{x}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$3 e^{x}$ と $e^{x}$ をたし算します。

$x e^{x} + 4 e^{x}$

ステップ 4.2

項を並べ替えます。

$e^{x} x + 4 e^{x}$

ステップ 4.3

$e^{x} x + 4 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$x e^{x} + 4 e^{x}$

微分積分 例