微分積分例

$f (x) = 3 e^{1 - x^{2}} \cdot \ln (x)$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{1 - x^{2}} \ln (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}} \ln (x)]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}} \ln (x)]$

ステップ 2

$f (x) = e^{1 - x^{2}}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}])$

ステップ 3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$3 (e^{1 - x^{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}])$

ステップ 4

$e^{1 - x^{2}}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}])$

ステップ 5

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 1 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x^{2}$ とします。

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))$

ステップ 5.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))$

ステップ 5.3

$u$ のすべての発生を $1 - x^{2}$ で置き換えます。

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])))$

ステップ 6.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])))$

ステップ 6.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

ステップ 6.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])))$

ステップ 6.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- (2 x))))$

ステップ 6.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)))$

ステップ 7

$\ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \frac{\ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) x}{x})$

ステップ 8

公分母の分子をまとめます。

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) x}{x}$

ステップ 9

$x$ を $1$ 乗します。

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 (x^{1} x)))}{x}$

ステップ 10

$x$ を $1$ 乗します。

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 (x^{1} x^{1})))}{x}$

ステップ 11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{1 + 1}))}{x}$

ステップ 12

$1$ と $1$ をたし算します。

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{2}))}{x}$

ステップ 13

$3$ と $\frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{2}))}{x}$ をまとめます。

$\frac{3 (e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{2})))}{x}$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} + 3 (\ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{2})))}{x}$

ステップ 14.2

分子を簡約します。

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ステップ 14.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 14.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} + 3 (- 2 \ln (x) (e^{1 - x^{2}} x^{2}))}{x}$

ステップ 14.2.1.2

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (x)$ を簡約します。

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} + 3 (- \ln (x^{2}) (e^{1 - x^{2}} x^{2}))}{x}$

ステップ 14.2.1.3

$3 (- \ln (x^{2}) (e^{1 - x^{2}} x^{2}))$ を掛けます。

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ステップ 14.2.1.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - 3 (\ln (x^{2}) (e^{1 - x^{2}} x^{2}))}{x}$

ステップ 14.2.1.3.2

$\ln (x^{2})$ と $- 3$ を並べ替えます。

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - 3 \cdot \ln (x^{2}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})}{x}$

ステップ 14.2.1.3.3

対数の中の $3$ を移動させて $- 3 \cdot \ln (x^{2})$ を簡約します。

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - \ln ({(x^{2})}^{3}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})}{x}$

ステップ 14.2.1.4

${(x^{2})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 14.2.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - \ln (x^{2 \cdot 3}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})}{x}$

ステップ 14.2.1.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - \ln (x^{6}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})}{x}$

ステップ 14.2.2

$3 e^{1 - x^{2}} - \ln (x^{6}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - x^{2} e^{1 - x^{2}} \ln (x^{6})}{x}$

ステップ 14.3

項を並べ替えます。

$\frac{- e^{1 - x^{2}} x^{2} \ln (x^{6}) + 3 e^{1 - x^{2}}}{x}$

ステップ 14.4

$e^{1 - x^{2}}$ を $- e^{1 - x^{2}} x^{2} \ln (x^{6}) + 3 e^{1 - x^{2}}$ で因数分解します。

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ステップ 14.4.1

$e^{1 - x^{2}}$ を $- e^{1 - x^{2}} x^{2} \ln (x^{6})$ で因数分解します。

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- x^{2} \ln (x^{6})) + 3 e^{1 - x^{2}}}{x}$

ステップ 14.4.2

$e^{1 - x^{2}}$ を $3 e^{1 - x^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- x^{2} \ln (x^{6})) + e^{1 - x^{2}} \cdot 3}{x}$

ステップ 14.4.3

$e^{1 - x^{2}}$ を $e^{1 - x^{2}} (- x^{2} \ln (x^{6})) + e^{1 - x^{2}} \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- x^{2} \ln (x^{6}) + 3)}{x}$

ステップ 14.5

$- 1$ を $- x^{2} \ln (x^{6})$ で因数分解します。

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- (x^{2} \ln (x^{6})) + 3)}{x}$

ステップ 14.6

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- (x^{2} \ln (x^{6})) - 1 (- 3))}{x}$

ステップ 14.7

$- 1$ を $- (x^{2} \ln (x^{6})) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- (x^{2} \ln (x^{6}) - 3))}{x}$

ステップ 14.8

$- (x^{2} \ln (x^{6}) - 3)$ を $- 1 (x^{2} \ln (x^{6}) - 3)$ に書き換えます。

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- 1 (x^{2} \ln (x^{6}) - 3))}{x}$

ステップ 14.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{e^{1 - x^{2}} (x^{2} \ln (x^{6}) - 3)}{x}$

微分積分 例

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