微分積分例

$f (x) = 3 e^{- 2 \cos^{2} (x)} - \frac{3}{e^{2}}$

ステップ 1

総和則では、 $3 e^{- 2 \cos^{2} (x)} - \frac{3}{e^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 \cos^{2} (x)}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 \cos^{2} (x)}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 \cos^{2} (x)}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{- 2 \cos^{2} (x)}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 \cos^{2} (x)}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 \cos^{2} (x)}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

ステップ 2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 2 \cos^{2} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- 2 \cos^{2} (x)$ とします。

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

ステップ 2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- 2 \cos^{2} (x)$ で置き換えます。

$3 (e^{- 2 \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

ステップ 2.3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \cos^{2} (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ です。

$3 (e^{- 2 \cos^{2} (x)} (- 2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

ステップ 2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\cos (x)$ とします。

$3 (e^{- 2 \cos^{2} (x)} (- 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]))) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

ステップ 2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (e^{- 2 \cos^{2} (x)} (- 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]))) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

ステップ 2.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$3 (e^{- 2 \cos^{2} (x)} (- 2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]))) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

ステップ 2.5

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$3 (e^{- 2 \cos^{2} (x)} (- 2 (2 \cos (x) (- \sin (x))))) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

ステップ 2.6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3 (e^{- 2 \cos^{2} (x)} (- 2 (- 2 \cos (x) \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

ステップ 2.7

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$3 (e^{- 2 \cos^{2} (x)} (4 (\cos (x) \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

ステップ 2.8

$4$ を $e^{- 2 \cos^{2} (x)}$ の左に移動させます。

$3 (4 \cdot e^{- 2 \cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

ステップ 2.9

$4$ に $3$ をかけます。

$12 e^{- 2 \cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{e^{2}}]$

ステップ 3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$- \frac{3}{e^{2}}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{3}{e^{2}}$ の微分係数は $0$ です。

$12 e^{- 2 \cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x) + 0$

ステップ 3.2

$12 e^{- 2 \cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$12 e^{- 2 \cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)$

微分積分 例

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