微分積分例

$f (x) = - 3 \cos^{2} (x) \cdot \sin (x)$

ステップ 1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$ です。

$- 3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$

ステップ 2

$f (x) = \cos^{2} (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 3 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

ステップ 3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$- 3 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

ステップ 4

指数を足して $\cos^{2} (x)$ に $\cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$\cos^{2} (x)$ に $\cos (x)$ をかけます。

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ステップ 4.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$- 3 (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

ステップ 4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 3 ({\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

ステップ 4.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$- 3 (\cos^{3} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

ステップ 5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$- 3 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

ステップ 5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

ステップ 5.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$- 3 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

ステップ 6

$2$ を $\sin (x)$ の左に移動させます。

$- 3 (\cos^{3} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 7

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- 3 (\cos^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) (- \sin (x)))$

ステップ 8

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 \sin (x) \cos (x) \sin (x))$

ステップ 9

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x))$

ステップ 10

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x))$

ステップ 11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x))$

ステップ 12

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos (x))$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

分配則を当てはめます。

$- 3 \cos^{3} (x) - 3 (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x))$

ステップ 13.2

$- 2$ に $- 3$ をかけます。

$- 3 \cos^{3} (x) + 6 \sin^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 13.3

項を並べ替えます。

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 3 \cos^{3} (x)$

微分積分 例

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