微分積分例

$f (x) = 3 {(2 + h)}^{2} + 1$

ステップ 1

${(2 + h)}^{2}$ を $(2 + h) (2 + h)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d h} [3 ((2 + h) (2 + h)) + 1]$

ステップ 2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 + h) (2 + h)$ を展開します。

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ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d h} [3 (2 (2 + h) + h (2 + h)) + 1]$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d h} [3 (2 \cdot 2 + 2 h + h (2 + h)) + 1]$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d h} [3 (2 \cdot 2 + 2 h + h \cdot 2 + h \cdot h) + 1]$

ステップ 3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{d}{d h} [3 (4 + 2 h + h \cdot 2 + h \cdot h) + 1]$

ステップ 3.1.2

$2$ を $h$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d h} [3 (4 + 2 h + 2 \cdot h + h \cdot h) + 1]$

ステップ 3.1.3

$h$ に $h$ をかけます。

$\frac{d}{d h} [3 (4 + 2 h + 2 h + h^{2}) + 1]$

ステップ 3.2

$2 h$ と $2 h$ をたし算します。

$\frac{d}{d h} [3 (4 + 4 h + h^{2}) + 1]$

ステップ 4

総和則では、 $3 (4 + 4 h + h^{2}) + 1$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [3 (4 + 4 h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [1]$ です。

$\frac{d}{d h} [3 (4 + 4 h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [1]$

ステップ 5

$\frac{d}{d h} [3 (4 + 4 h + h^{2})]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1

$3$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $3 (4 + 4 h + h^{2})$ の微分係数は $3 \frac{d}{d h} [4 + 4 h + h^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d h} [4 + 4 h + h^{2}] + \frac{d}{d h} [1]$

ステップ 5.2

総和則では、 $4 + 4 h + h^{2}$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [4 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ です。

$3 (\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [4 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [1]$

ステップ 5.3

$4$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$3 (0 + \frac{d}{d h} [4 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [1]$

ステップ 5.4

$4$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $4 h$ の微分係数は $4 \frac{d}{d h} [h]$ です。

$3 (0 + 4 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [1]$

ステップ 5.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (0 + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [1]$

ステップ 5.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (0 + 4 \cdot 1 + 2 h) + \frac{d}{d h} [1]$

ステップ 5.7

$4$ に $1$ をかけます。

$3 (0 + 4 + 2 h) + \frac{d}{d h} [1]$

ステップ 5.8

$0$ と $4$ をたし算します。

$3 (4 + 2 h) + \frac{d}{d h} [1]$

ステップ 6

$1$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 (4 + 2 h) + 0$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$3 \cdot 4 + 3 (2 h) + 0$

ステップ 7.2

項をまとめます。

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ステップ 7.2.1

$3$ に $4$ をかけます。

$12 + 3 (2 h) + 0$

ステップ 7.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$12 + 6 h + 0$

ステップ 7.2.3

$12 + 6 h$ と $0$ をたし算します。

$12 + 6 h$

ステップ 7.3

項を並べ替えます。

$6 h + 12$

微分積分 例

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