微分積分例

$f (x) = 3 \sqrt{4 x} + e^{- 2 x}$

ステップ 1

総和則では、 $3 \sqrt{4 x} + e^{- 2 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 \sqrt{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt{4 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 x}$ を ${(4 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [3 {(4 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 2.2

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [3 {(4 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 2.3

積の法則を $4 (x)$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [3 (4^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 2.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [3 ({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 2.5

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [3 (2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 2.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{d}{d x} [3 (2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 2.6.2

式を書き換えます。

$\frac{d}{d x} [3 (2^{1} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 2.7

指数を求めます。

$\frac{d}{d x} [3 (2 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 2.8

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 2.9

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 2.10

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 2.11

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 2.12

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 2.13

公分母の分子をまとめます。

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 2.14

分子を簡約します。

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ステップ 2.14.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 2.14.2

$1$ から $2$ を引きます。

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 2.15

分数の前に負数を移動させます。

$6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 2.16

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 2.17

$6$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{6 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 2.18

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{6}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 2.19

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 2.20

共通因数を約分します。

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ステップ 2.20.1

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 2.20.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 2.20.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 2 x$ とします。

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 3.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

ステップ 3.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{- 2 x} \cdot - 2$

ステップ 3.5

$- 2$ を $e^{- 2 x}$ の左に移動させます。

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{- 2 x}$

微分積分 例

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