微分積分例

$f (x) = 3 x^{4} \ln ({(x)}^{2})$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4} \ln (x^{2})$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x^{2})]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x^{2})]$

ステップ 2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \ln (x^{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$3 (x^{4} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$3 (x^{4} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$3 (x^{4} (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{x^{2}}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$3 (\frac{x^{4}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.2

$x^{4}$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$3 (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

$1$ を掛けます。

$3 (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.2.2.2

共通因数を約分します。

$3 (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.2.2.3

式を書き換えます。

$3 (\frac{x^{2}}{1} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.2.2.4

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x^{2} (2 x) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 5

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.1

$x$ を移動させます。

$3 (x \cdot x^{2} \cdot 2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 5.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$3 (x^{1} x^{2} \cdot 2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 (x^{1 + 2} \cdot 2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$3 (x^{3} \cdot 2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 6

$2$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$3 (2 \cdot x^{3} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 7

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x^{3} + \ln (x^{2}) (4 x^{3}))$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$3 (2 x^{3}) + 3 (\ln (x^{2}) (4 x^{3}))$

ステップ 8.2

項をまとめます。

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ステップ 8.2.1

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x^{3} + 3 (\ln (x^{2}) (4 x^{3}))$

ステップ 8.2.2

$4$ に $3$ をかけます。

$6 x^{3} + 12 \ln (x^{2}) x^{3}$

ステップ 8.3

項を並べ替えます。

$6 x^{3} + 12 x^{3} \ln (x^{2})$

微分積分 例

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