微分積分例

$f (x) = 5 x \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x \sin (\frac{1}{x})$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x \sin (\frac{1}{x})]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x \sin (\frac{1}{x})]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = \sin (\frac{1}{x})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 (x \frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})] + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$5 (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$5 (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$5 (x (\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$5 (x (\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x (\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5

$x$ を $1$ 乗します。

$5 (x^{- 2} x^{1} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 (x^{- 2 + 1} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7

式を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$5 (x^{- 1} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.2

$- 1$ を $\cos (\frac{1}{x})$ の左に移動させます。

$5 (x^{- 1} (- 1 \cdot \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.3

$- 1 \cos (\frac{1}{x})$ を $- \cos (\frac{1}{x})$ に書き換えます。

$5 (x^{- 1} (- \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x^{- 1} (- \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x}) \cdot 1)$

ステップ 9

$\sin (\frac{1}{x})$ に $1$ をかけます。

$5 (x^{- 1} (- \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x}))$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$5 (\frac{1}{x} (- \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x}))$

ステップ 10.2

分配則を当てはめます。

$5 (\frac{1}{x} (- \cos (\frac{1}{x}))) + 5 \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 10.3

項をまとめます。

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ステップ 10.3.1

$\frac{1}{x}$ と $\cos (\frac{1}{x})$ をまとめます。

$5 (- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x}) + 5 \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 10.3.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- 5 \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x} + 5 \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 10.3.3

$- 5$ と $\frac{\cos (\frac{1}{x})}{x}$ をまとめます。

$\frac{- 5 \cos (\frac{1}{x})}{x} + 5 \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 10.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5 \cos (\frac{1}{x})}{x} + 5 \sin (\frac{1}{x})$

微分積分 例

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