微分積分例

$f (x) = 5 x^{3 e^{x}}$

ステップ 1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{3 e^{x}}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{3 e^{x}}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{3 e^{x}}]$

ステップ 2

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 2.1

$x^{3 e^{x}}$ を $e^{\ln (x^{3 e^{x}})}$ に書き換えます。

$5 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{3 e^{x}})}]$

ステップ 2.2

$3 e^{x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{3 e^{x}})$ を展開します。

$5 \frac{d}{d x} [e^{3 e^{x} \ln (x)}]$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 e^{x} \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 e^{x} \ln (x)$ とします。

$5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 e^{x} \ln (x)])$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$5 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 e^{x} \ln (x)])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $3 e^{x} \ln (x)$ で置き換えます。

$5 (e^{3 e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [3 e^{x} \ln (x)])$

ステップ 4

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{x} \ln (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$ です。

$5 e^{3 e^{x} \ln (x)} (3 \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

ステップ 4.2

$3$ に $5$ をかけます。

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

ステップ 5

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 6

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 7

$e^{x}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 8

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} \frac{e^{x}}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

ステップ 9.2

項をまとめます。

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ステップ 9.2.1

$\frac{e^{x}}{x}$ と $15$ をまとめます。

$\frac{e^{x} \cdot 15}{x} e^{3 e^{x} \ln (x)} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

ステップ 9.2.2

$\frac{e^{x} \cdot 15}{x}$ と $e^{3 e^{x} \ln (x)}$ をまとめます。

$\frac{e^{x} \cdot 15 e^{3 e^{x} \ln (x)}}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

ステップ 9.2.3

指数を足して $e^{x}$ に $e^{3 e^{x} \ln (x)}$ を掛けます。

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ステップ 9.2.3.1

$e^{3 e^{x} \ln (x)}$ を移動させます。

$\frac{e^{3 e^{x} \ln (x)} e^{x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

ステップ 9.2.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{3 e^{x} \ln (x) + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

ステップ 9.2.3.3

$3 e^{x} \ln (x)$ を掛けます。

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ステップ 9.2.3.3.1

$\ln (x)$ と $3$ を並べ替えます。

$\frac{e^{3 \cdot \ln (x) e^{x} + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

ステップ 9.2.3.3.2

対数の中の $3$ を移動させて $3 \cdot \ln (x)$ を簡約します。

$\frac{e^{\ln (x^{3}) e^{x} + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

ステップ 9.2.3.4

$\ln (x^{3}) e^{x} + x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

ステップ 9.2.4

$15$ を $e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}$ の左に移動させます。

$\frac{15 \cdot e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

ステップ 9.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x} + 15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 9.2.6

$15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x} + \frac{15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

ステップ 9.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x} + 15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

ステップ 9.3

項を並べ替えます。

$\frac{15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + 15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x}$

微分積分 例

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