微分積分例

$f (x) = 50 - \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

総和則では、 $50 - \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [50] + \frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d t} [50] + \frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

ステップ 1.2

$50$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $50$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$- 25$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ の微分係数は $- 25 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ です。

$0 - 25 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

ステップ 2.2

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = {(t + 3)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.4

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = t + 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t + 3$ とします。

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 u \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.4.3

$u$ のすべての発生を $t + 3$ で置き換えます。

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.5

総和則では、 $t + 3$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ です。

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.7

$3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.8

$2$ を ${(t + 3)}^{2}$ の左に移動させます。

$0 - 25 \frac{2 \cdot {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9

$1$ と $0$ をたし算します。

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) \cdot 1)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.10

$2$ に $1$ をかけます。

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.12

${({(t + 3)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.12.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.12.2

$2$ に $2$ をかけます。

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 2.13

$- 25$ と $\frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$ をまとめます。

$0 + \frac{- 25 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 2.14

分数の前に負数を移動させます。

$0 - \frac{25 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$0 - \frac{25 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} t - 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$0 - \frac{25 (2 {(t + 3)}^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.3

項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

$2$ に $25$ をかけます。

$0 - \frac{50 ({(t + 3)}^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.3.2

$t$ を $1$ 乗します。

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t + 25 (- 2 (t^{1} t^{2})) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t + 25 (- 2 t^{1 + 2}) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t + 25 (- 2 t^{3}) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.3.5

$- 2$ に $25$ をかけます。

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.3.6

$3$ に $- 2$ をかけます。

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} + 25 (- 6 t^{2})}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.3.7

$- 6$ に $25$ をかけます。

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.3.8

$0$ から $\frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$ を引きます。

$- \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$50 t$ を $50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1.1

$50 t$ を $50 {(t + 3)}^{2} t$ で因数分解します。

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2}) - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.1.2

$50 t$ を $- 50 t^{3}$ で因数分解します。

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2}) + 50 t (- t^{2}) - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.1.3

$50 t$ を $- 150 t^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2}) + 50 t (- t^{2}) + 50 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.1.4

$50 t$ を $50 t ({(t + 3)}^{2}) + 50 t (- t^{2})$ で因数分解します。

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 50 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.1.5

$50 t$ を $50 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 50 t (- 3 t)$ で因数分解します。

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.2

${(t + 3)}^{2}$ を $(t + 3) (t + 3)$ に書き換えます。

$- \frac{50 t ((t + 3) (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.3

分配法則（FOIL法）を使って $(t + 3) (t + 3)$ を展開します。

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ステップ 3.4.3.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{50 t (t (t + 3) + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.3.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{50 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.3.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{50 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.4.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.4.1.1

$t$ に $t$ をかけます。

$- \frac{50 t (t^{2} + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.4.1.2

$3$ を $t$ の左に移動させます。

$- \frac{50 t (t^{2} + 3 \cdot t + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.4.1.3

$3$ に $3$ をかけます。

$- \frac{50 t (t^{2} + 3 t + 3 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.4.2

$3 t$ と $3 t$ をたし算します。

$- \frac{50 t (t^{2} + 6 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.5

$t^{2}$ から $t^{2}$ を引きます。

$- \frac{50 t (6 t + 9 + 0 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.6

$6 t$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{50 t (6 t + 9 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.7

$6 t$ から $3 t$ を引きます。

$- \frac{50 t (3 t + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.8

$3$ を $3 t + 9$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.8.1

$3$ を $3 t$ で因数分解します。

$- \frac{50 t (3 (t) + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.8.2

$3$ を $9$ で因数分解します。

$- \frac{50 t (3 t + 3 \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.8.3

$3$ を $3 t + 3 \cdot 3$ で因数分解します。

$- \frac{50 t (3 (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

$- \frac{50 t \cdot 3 (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.9

$3$ に $50$ をかけます。

$- \frac{150 t (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.5

$t + 3$ と ${(t + 3)}^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

$t + 3$ を $150 t (t + 3)$ で因数分解します。

$- \frac{(t + 3) (150 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

ステップ 3.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.1

$t + 3$ を ${(t + 3)}^{4}$ で因数分解します。

$- \frac{(t + 3) (150 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

ステップ 3.5.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{(t + 3) (150 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

ステップ 3.5.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{150 t}{{(t + 3)}^{3}}$

微分積分 例

微分積分例