微分積分例

$f (x) = 5 arccot (x^{2} + 12 x)$

ステップ 1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 arccot (x^{2} + 12 x)$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [arccot (x^{2} + 12 x)]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [arccot (x^{2} + 12 x)]$

ステップ 2

$f (x) = arccot (x)$ および $g (x) = x^{2} + 12 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 12 x$ とします。

$5 (\frac{d}{d u} [arccot (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 12 x])$

ステップ 2.2

$u$ に関する $arccot (u)$ の微分係数は $- \frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$5 (- \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12 x])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 12 x$ で置き換えます。

$5 (- \frac{1}{1 + {(x^{2} + 12 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12 x])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- 5 (\frac{1}{1 + {(x^{2} + 12 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12 x])$

ステップ 3.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 12 x)}^{2}}$ と $- 5$ をまとめます。

$\frac{- 5}{1 + {(x^{2} + 12 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12 x]$

ステップ 3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5}{1 + {(x^{2} + 12 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12 x]$

ステップ 3.3

総和則では、 $x^{2} + 12 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ です。

$- \frac{5}{1 + {(x^{2} + 12 x)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x])$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{5}{1 + {(x^{2} + 12 x)}^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [12 x])$

ステップ 3.5

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{5}{1 + {(x^{2} + 12 x)}^{2}} (2 x + 12 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{5}{1 + {(x^{2} + 12 x)}^{2}} (2 x + 12 \cdot 1)$

ステップ 3.7

式を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$12$ に $1$ をかけます。

$- \frac{5}{1 + {(x^{2} + 12 x)}^{2}} (2 x + 12)$

ステップ 3.7.2

$- \frac{5}{1 + {(x^{2} + 12 x)}^{2}} (2 x + 12)$ の因数を並べ替えます。

$- (2 x + 12) \frac{5}{1 + {(x^{2} + 12 x)}^{2}}$

微分積分 例

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