微分積分例

$f (x) = 7 \cdot x^{4} + 3 \cdot \arctan (7 x^{4})$

ステップ 1

総和則では、 $7 \cdot x^{4} + 3 \cdot \arctan (7 x^{4})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 \cdot x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$ です。

$\frac{d}{d x} [7 \cdot x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [7 \cdot x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{4}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$

ステップ 2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$

ステップ 2.3

$4$ に $7$ をかけます。

$28 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \arctan (7 x^{4})$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\arctan (7 x^{4})]$ です。

$28 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [\arctan (7 x^{4})]$

ステップ 3.2

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = 7 x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $7 x^{4}$ とします。

$28 x^{3} + 3 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [7 x^{4}])$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{4}])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $7 x^{4}$ で置き換えます。

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + {(7 x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{4}])$

ステップ 3.3

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{4}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + {(7 x^{4})}^{2}} (7 \frac{d}{d x} [x^{4}]))$

ステップ 3.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + {(7 x^{4})}^{2}} (7 (4 x^{3})))$

ステップ 3.5

$7$ を $7 x^{4}$ で因数分解します。

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + {(7 (x^{4}))}^{2}} (7 (4 x^{3})))$

ステップ 3.6

積の法則を $7 (x^{4})$ に当てはめます。

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + 7^{2} {(x^{4})}^{2}} (7 (4 x^{3})))$

ステップ 3.7

$7$ を $2$ 乗します。

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + 49 {(x^{4})}^{2}} (7 (4 x^{3})))$

ステップ 3.8

${(x^{4})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.8.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + 49 x^{4 \cdot 2}} (7 (4 x^{3})))$

ステップ 3.8.2

$4$ に $2$ をかけます。

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + 49 x^{8}} (7 (4 x^{3})))$

ステップ 3.9

$4$ に $7$ をかけます。

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + 49 x^{8}} (28 x^{3}))$

ステップ 3.10

$28$ と $\frac{1}{1 + 49 x^{8}}$ をまとめます。

$28 x^{3} + 3 (\frac{28}{1 + 49 x^{8}} x^{3})$

ステップ 3.11

$\frac{28}{1 + 49 x^{8}}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$28 x^{3} + 3 \frac{28 x^{3}}{1 + 49 x^{8}}$

ステップ 3.12

$3$ と $\frac{28 x^{3}}{1 + 49 x^{8}}$ をまとめます。

$28 x^{3} + \frac{3 (28 x^{3})}{1 + 49 x^{8}}$

ステップ 3.13

$28$ に $3$ をかけます。

$28 x^{3} + \frac{84 x^{3}}{1 + 49 x^{8}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

項をまとめます。

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ステップ 4.1.1

$28 x^{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + 49 x^{8}}{1 + 49 x^{8}}$ を掛けます。

$\frac{28 x^{3} (1 + 49 x^{8})}{1 + 49 x^{8}} + \frac{84 x^{3}}{1 + 49 x^{8}}$

ステップ 4.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{28 x^{3} (1 + 49 x^{8}) + 84 x^{3}}{1 + 49 x^{8}}$

ステップ 4.2

項を並べ替えます。

$\frac{84 x^{3} + 28 x^{3} (1 + 49 x^{8})}{49 x^{8} + 1}$

微分積分 例

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