微分積分例

$f (x) = 8 \ln ({(x)}^{\frac{7}{2}})$

ステップ 1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 \ln (x^{\frac{7}{2}})$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{7}{2}})]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{7}{2}})]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{\frac{7}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{7}{2}}$ とします。

$8 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$8 (\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

ステップ 3.2

$n = \frac{7}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1})$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}})$

ステップ 7.2

$7$ から $2$ を引きます。

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}})$

ステップ 8

$\frac{7}{2}$ と $x^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

ステップ 9

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}}$ に $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ をかけます。

$\frac{8 (7 x^{\frac{5}{2}})}{x^{\frac{7}{2}} \cdot 2}$

ステップ 10

式を簡約します。

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ステップ 10.1

$7$ に $8$ をかけます。

$\frac{56 x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{7}{2}} \cdot 2}$

ステップ 10.2

$2$ を $x^{\frac{7}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{56 x^{\frac{5}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{7}{2}}}$

ステップ 10.3

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{\frac{5}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{56}{2 x^{\frac{7}{2}} x^{- \frac{5}{2}}}$

ステップ 11

分母を簡約します。

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ステップ 11.1

指数を足して $x^{\frac{7}{2}}$ に $x^{- \frac{5}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 11.1.1

$x^{- \frac{5}{2}}$ を移動させます。

$\frac{56}{2 (x^{- \frac{5}{2}} x^{\frac{7}{2}})}$

ステップ 11.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{56}{2 x^{- \frac{5}{2} + \frac{7}{2}}}$

ステップ 11.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{56}{2 x^{\frac{- 5 + 7}{2}}}$

ステップ 11.1.4

$- 5$ と $7$ をたし算します。

$\frac{56}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 11.1.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{56}{2 x^{1}}$

ステップ 11.2

$2 x^{1}$ を簡約します。

$\frac{56}{2 x}$

ステップ 12

$56$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.1

$2$ を $56$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 28}{2 x}$

ステップ 12.2

共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 28}{2 (x)}$

ステップ 12.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 28}{2 x}$

ステップ 12.2.3

式を書き換えます。

$\frac{28}{x}$

微分積分 例

微分積分例