微分積分例

$f (x) = 7 x^{4} x^{\frac{1}{2}} + (- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}})$

ステップ 1

総和則では、 $7 x^{4} x^{\frac{1}{2}} + (- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x^{4} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [7 x^{4} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [7 x^{4} x^{\frac{1}{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

指数を足して $x^{4}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [7 (x^{\frac{1}{2}} x^{4})] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

ステップ 2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2} + 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

ステップ 2.1.3

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

ステップ 2.1.4

$4$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

ステップ 2.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1 + 4 \cdot 2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

ステップ 2.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.6.1

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1 + 8}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

ステップ 2.1.6.2

$1$ と $8$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{9}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

ステップ 2.2

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{\frac{9}{2}}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

ステップ 2.3

$n = \frac{9}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

ステップ 2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$7 (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

ステップ 2.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$7 (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$7 (\frac{9}{2} x^{\frac{9 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

ステップ 2.7

分子を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$7 (\frac{9}{2} x^{\frac{9 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

ステップ 2.7.2

$9$ から $2$ を引きます。

$7 (\frac{9}{2} x^{\frac{7}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

ステップ 2.8

$\frac{9}{2}$ と $x^{\frac{7}{2}}$ をまとめます。

$7 \frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

ステップ 2.9

$7$ と $\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{7 (9 x^{\frac{7}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

ステップ 2.10

$9$ に $7$ をかけます。

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{0.5}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2 + 0.5}}]$

ステップ 3.1.2

$2$ と $0.5$ をたし算します。

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2.5}}]$

ステップ 3.2

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{8}{x^{2.5}}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2.5}}]$ です。

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2.5}}]$

ステップ 3.3

$\frac{1}{x^{2.5}}$ を ${(x^{2.5})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 \frac{d}{d x} [{(x^{2.5})}^{- 1}]$

ステップ 3.4

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2.5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2.5}$ とします。

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2.5}])$

ステップ 3.4.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2.5}])$

ステップ 3.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2.5}$ で置き換えます。

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ステップ 3.4.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- {(x^{2 + 0.5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2.5}])$

ステップ 3.4.3.2

$2$ と $0.5$ をたし算します。

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- {(x^{2.5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2.5}])$

ステップ 3.5

$n = 2.5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- {(x^{2.5})}^{- 2} (2.5 x^{1.5}))$

ステップ 3.6

${(x^{2.5})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- x^{2.5 \cdot - 2} (2.5 x^{1.5}))$

ステップ 3.6.2

$2.5$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- x^{- 5} (2.5 x^{1.5}))$

ステップ 3.7

$2.5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- 2.5 x^{- 5} x^{1.5})$

ステップ 3.8

指数を足して $x^{- 5}$ に $x^{1.5}$ を掛けます。

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ステップ 3.8.1

$x^{1.5}$ を移動させます。

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- 2.5 (x^{1.5} x^{- 5}))$

ステップ 3.8.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- 2.5 x^{1.5 - 5})$

ステップ 3.8.3

$1.5$ から $5$ を引きます。

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- 2.5 x^{- 3.5})$

ステップ 3.9

$- 2.5$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} + 20 x^{- 3.5}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} + 20 \frac{1}{x^{3.5}}$

ステップ 4.2

$20$ と $\frac{1}{x^{3.5}}$ をまとめます。

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{20}{x^{3.5}}$

微分積分 例

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