微分積分例

$f (x) = 4 arccsc (10 x^{- 1})$

ステップ 1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 arccsc (10 x^{- 1})$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [arccsc (10 x^{- 1})]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [arccsc (10 x^{- 1})]$

ステップ 2

$f (x) = arccsc (x)$ および $g (x) = 10 x^{- 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $10 x^{- 1}$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

ステップ 2.2

$u$ に関する $arccsc (u)$ の微分係数は $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ です。

$4 (- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $10 x^{- 1}$ で置き換えます。

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{{(10 x^{- 1})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$10$ を $10 x^{- 1}$ で因数分解します。

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{{(10 (x^{- 1}))}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

ステップ 3.2

項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

式を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

積の法則を $10 (x^{- 1})$ に当てはめます。

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{10^{2} {(x^{- 1})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

ステップ 3.2.1.2

$10$ を $2$ 乗します。

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{100 {(x^{- 1})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

ステップ 3.2.1.3

${(x^{- 1})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{100 x^{- 1 \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

ステップ 3.2.1.3.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

ステップ 3.2.1.4

負の指数法則 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ を利用して $x^{- 1}$ を分子に移動させます。

$4 (- \frac{x}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

ステップ 3.2.1.5

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 (\frac{x}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

ステップ 3.2.2

$\frac{x}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$ と $- 4$ をまとめます。

$\frac{x \cdot - 4}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

ステップ 3.2.3

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{- 4 \cdot x}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

ステップ 3.2.4

$- 4$ と $10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.1

$2$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x)}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

ステップ 3.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.2.1

$2$ を $10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x)}{2 (5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1})} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

ステップ 3.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 2 x)}{2 (5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1})} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

ステップ 3.2.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

ステップ 3.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

ステップ 3.3

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x^{- 1}$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ です。

$- \frac{2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} (10 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

ステップ 3.4

項を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$10$ に $- 1$ をかけます。

$- 10 \frac{2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 3.4.2

$- 10$ と $\frac{2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$ をまとめます。

$\frac{- 10 (2 x)}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 3.4.3

$2$ に $- 10$ をかけます。

$\frac{- 20 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 3.4.4

$- 20$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.4.1

$5$ を $- 20 x$ で因数分解します。

$\frac{5 (- 4 x)}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 3.4.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.4.2.1

$5$ を $5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}$ で因数分解します。

$\frac{5 (- 4 x)}{5 (\sqrt{100 x^{- 2} - 1})} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 3.4.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (- 4 x)}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 3.4.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 3.4.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 3.5

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} (- x^{- 2})$

ステップ 3.6

分数をまとめます。

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ステップ 3.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} x^{- 2}$

ステップ 3.6.2

$\frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} x^{- 2}$

ステップ 3.6.3

$\frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$ と $x^{- 2}$ をまとめます。

$\frac{4 x \cdot x^{- 2}}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

ステップ 4

指数を足して $x$ に $x^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$x^{- 2}$ を移動させます。

$\frac{4 (x^{- 2} x)}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

ステップ 4.2

$x^{- 2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 (x^{- 2} x^{1})}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

ステップ 4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 x^{- 2 + 1}}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

ステップ 4.3

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4 x^{- 1}}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

ステップ 5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 1}$ を分母に移動させます。

$\frac{4}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1} x}$

ステップ 6

項を並べ替えます。

$\frac{4}{x \sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

微分積分 例

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