微分積分例

$f (x) = - 4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

ステップ 1

総和則では、 $- 4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos^{3} (x)]$ です。

$- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

ステップ 2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \cos^{3} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

ステップ 2.3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (x)$ とします。

$- 4 (\sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

ステップ 2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 (\sin (x) (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

ステップ 2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$- 4 (\sin (x) (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

ステップ 2.4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- 4 (\sin (x) (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

ステップ 2.5

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$- 4 (\sin (x) (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

ステップ 2.6

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 4 (\sin (x) (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

ステップ 2.7

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

ステップ 2.8

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

ステップ 2.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

ステップ 2.10

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

ステップ 2.11

指数を足して $\cos^{3} (x)$ に $\cos (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

$\cos^{3} (x)$ に $\cos (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{3} (x) \cos^{1} (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

ステップ 2.11.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{3 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

ステップ 2.11.2

$3$ と $1$ をたし算します。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x) \cos (x)]$ です。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x) \cos (x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = \sin^{3} (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)])$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)])$

ステップ 3.4

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sin (x)$ とします。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

ステップ 3.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

ステップ 3.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

ステップ 3.5

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

ステップ 3.6

指数を足して $\sin^{3} (x)$ に $\sin (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$\sin (x)$ を移動させます。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

ステップ 3.6.2

$\sin (x)$ に $\sin^{3} (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

ステップ 3.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 ({\sin (x)}^{1 + 3} \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

ステップ 3.6.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{4} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

ステップ 3.7

$- 1$ を $\sin^{4} (x)$ の左に移動させます。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- 1 \cdot \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

ステップ 3.8

$- 1 \sin^{4} (x)$ を $- \sin^{4} (x)$ に書き換えます。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

ステップ 3.9

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) (\cos^{1} (x) \cos (x)))$

ステップ 3.10

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)))$

ステップ 3.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) {\cos (x)}^{1 + 1})$

ステップ 3.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) - 4 \cos^{4} (x) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) - 4 \cos^{4} (x) - 4 (- \sin^{4} (x)) - 4 (3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

ステップ 4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 3$ に $- 4$ をかけます。

$12 (\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) - 4 \cos^{4} (x) - 4 (- \sin^{4} (x)) - 4 (3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

ステップ 4.3.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 4 (3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

ステップ 4.3.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 12 (\sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

ステップ 4.3.4

$- 12 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ の因数を並べ替えます。

$12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

ステップ 4.3.5

$12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ から $12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ を引きます。

$0 - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x)$

ステップ 4.3.6

$0$ から $4 \cos^{4} (x)$ を引きます。

$- 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x)$

ステップ 4.4

$4 \sin^{4} (x)$ を ${(2 \sin^{2} (x))}^{2}$ に書き換えます。

$- 4 \cos^{4} (x) + {(2 \sin^{2} (x))}^{2}$

ステップ 4.5

$4 \cos^{4} (x)$ を ${(2 \cos^{2} (x))}^{2}$ に書き換えます。

$- {(2 \cos^{2} (x))}^{2} + {(2 \sin^{2} (x))}^{2}$

ステップ 4.6

$- {(2 \cos^{2} (x))}^{2}$ と ${(2 \sin^{2} (x))}^{2}$ を並べ替えます。

${(2 \sin^{2} (x))}^{2} - {(2 \cos^{2} (x))}^{2}$

ステップ 4.7

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 \sin^{2} (x)$ であり、 $b = 2 \cos^{2} (x)$ です。

$(2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

ステップ 4.8

$2$ を $2 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$(2 (\sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

ステップ 4.9

$2$ を $2 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$(2 (\sin^{2} (x)) + 2 (\cos^{2} (x))) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

ステップ 4.10

$2$ を $2 (\sin^{2} (x)) + 2 (\cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

ステップ 4.11

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$2 \cdot 1 (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

ステップ 4.12

$2$ に $1$ をかけます。

$2 (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

ステップ 4.13

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 (2 \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x))$

ステップ 4.14

分配則を当てはめます。

$2 (2 \sin^{2} (x)) + 2 (- 2 \cos^{2} (x))$

ステップ 4.15

$2$ に $2$ をかけます。

$4 \sin^{2} (x) + 2 (- 2 \cos^{2} (x))$

ステップ 4.16

$- 2$ に $2$ をかけます。

$4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)$

微分積分 例

微分積分例