微分積分例

$f (x) = 4 - x^{2} - \ln (\frac{1}{2} x + 1)$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

総和則では、 $4 - x^{2} - \ln (\frac{1}{2} x + 1)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$ です。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

ステップ 1.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

ステップ 2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{x}{2} + 1)]$

ステップ 3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (\frac{x}{2} + 1)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2} + 1)]$ です。

$0 - 2 x - \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2} + 1)]$

ステップ 3.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{x}{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{2} + 1$ とします。

$0 - 2 x - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + 1])$

ステップ 3.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$0 - 2 x - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + 1])$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2} + 1$ で置き換えます。

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + 1])$

ステップ 3.4

総和則では、 $\frac{x}{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 3.5

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 3.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} \cdot 1 + 0))$

ステップ 3.8

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} + 0))$

ステップ 3.9

$\frac{1}{2}$ と $0$ をたし算します。

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 3.10

$\frac{1}{\frac{x}{2} + 1}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$0 - 2 x - \frac{1}{(\frac{x}{2} + 1) \cdot 2}$

ステップ 3.11

$2$ を $\frac{x}{2} + 1$ の左に移動させます。

$0 - 2 x - \frac{1}{2 (\frac{x}{2} + 1)}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$0 - 2 x - \frac{1}{2 \frac{x}{2} + 2 \cdot 1}$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$0$ から $2 x$ を引きます。

$- 2 x - \frac{1}{2 \frac{x}{2} + 2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.2

$2$ と $\frac{x}{2}$ をまとめます。

$- 2 x - \frac{1}{\frac{2 x}{2} + 2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.1

共通因数を約分します。

$- 2 x - \frac{1}{\frac{2 x}{2} + 2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.2

$x$ を $1$ で割ります。

$- 2 x - \frac{1}{x + 2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$- 2 x - \frac{1}{x + 2}$

ステップ 4.2.5

$- 2 x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 2}{x + 2}$ を掛けます。

$- 2 x \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{1}{x + 2}$

ステップ 4.2.6

$- 2 x$ と $\frac{x + 2}{x + 2}$ をまとめます。

$\frac{- 2 x (x + 2)}{x + 2} - \frac{1}{x + 2}$

ステップ 4.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2 x (x + 2) - 1}{x + 2}$

ステップ 4.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 - 1}{x + 2}$

ステップ 4.3.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.3.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 - 1}{x + 2}$

ステップ 4.3.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 - 1}{x + 2}$

ステップ 4.3.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x - 1}{x + 2}$

ステップ 4.4

$- 1$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x^{2}) - 4 x - 1}{x + 2}$

ステップ 4.5

$- 1$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x^{2}) - (4 x) - 1}{x + 2}$

ステップ 4.6

$- 1$ を $- (2 x^{2}) - (4 x)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x^{2} + 4 x) - 1}{x + 2}$

ステップ 4.7

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- (2 x^{2} + 4 x) - 1 (1)}{x + 2}$

ステップ 4.8

$- 1$ を $- (2 x^{2} + 4 x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x^{2} + 4 x + 1)}{x + 2}$

ステップ 4.9

$- (2 x^{2} + 4 x + 1)$ を $- 1 (2 x^{2} + 4 x + 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (2 x^{2} + 4 x + 1)}{x + 2}$

ステップ 4.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x^{2} + 4 x + 1}{x + 2}$

微分積分 例

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