微分積分例

$f (x) = 4 {(\ln (x) + 3)}^{4} + {(\ln (x) + 3)}^{3} + 2$

ステップ 1

総和則では、 $4 {(\ln (x) + 3)}^{4} + {(\ln (x) + 3)}^{3} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 {(\ln (x) + 3)}^{4}] + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 {(\ln (x) + 3)}^{4}] + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [4 {(\ln (x) + 3)}^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 {(\ln (x) + 3)}^{4}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{4}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{4}] + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \ln (x) + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\ln (x) + 3$ とします。

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3]) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3]) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln (x) + 3$ で置き換えます。

$4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3]) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3

総和則では、 $\ln (x) + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3])) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3} (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [3])) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.5

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3} (\frac{1}{x} + 0)) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.6

$\frac{1}{x}$ と $0$ をたし算します。

$4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3} \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.7

$\frac{1}{x}$ と $4$ をまとめます。

$4 (\frac{4}{x} {(\ln (x) + 3)}^{3}) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.8

$\frac{4}{x}$ と ${(\ln (x) + 3)}^{3}$ をまとめます。

$4 \frac{4 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.9

$4$ と $\frac{4 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x}$ をまとめます。

$\frac{4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3})}{x} + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.10

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \ln (x) + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\ln (x) + 3$ とします。

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\ln (x) + 3$ で置き換えます。

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.2

総和則では、 $\ln (x) + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2} (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2} (\frac{1}{x} + 0) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.5

$\frac{1}{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2} \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.6

$\frac{1}{x}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{3}{x} {(\ln (x) + 3)}^{2} + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.7

$\frac{3}{x}$ と ${(\ln (x) + 3)}^{2}$ をまとめます。

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x} + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x} + 0$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

項をまとめます。

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ステップ 5.1.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x} + 0$

ステップ 5.1.2

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x}$

ステップ 5.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.1

${(\ln (x) + 3)}^{2}$ を $16 {(\ln (x) + 3)}^{3} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1.1

${(\ln (x) + 3)}^{2}$ を $16 {(\ln (x) + 3)}^{3}$ で因数分解します。

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 (\ln (x) + 3)) + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x}$

ステップ 5.2.1.2

${(\ln (x) + 3)}^{2}$ を $3 {(\ln (x) + 3)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 (\ln (x) + 3)) + {(\ln (x) + 3)}^{2} \cdot 3}{x}$

ステップ 5.2.1.3

${(\ln (x) + 3)}^{2}$ を ${(\ln (x) + 3)}^{2} (16 (\ln (x) + 3)) + {(\ln (x) + 3)}^{2} \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 (\ln (x) + 3) + 3)}{x}$

ステップ 5.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 \ln (x) + 16 \cdot 3 + 3)}{x}$

ステップ 5.2.3

$16$ に $3$ をかけます。

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 \ln (x) + 48 + 3)}{x}$

ステップ 5.2.4

$48$ と $3$ をたし算します。

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 \ln (x) + 51)}{x}$

微分積分 例

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