微分積分例

$f (x) = 4 \log_{7} (\sqrt{x} - 2)$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [4 \log_{7} (x^{\frac{1}{2}} - 2)]$

ステップ 1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \log_{7} (x^{\frac{1}{2}} - 2)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\log_{7} (x^{\frac{1}{2}} - 2)]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\log_{7} (x^{\frac{1}{2}} - 2)]$

ステップ 2

$f (x) = \log_{7} (x)$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{1}{2}} - 2$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [\log_{7} (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2])$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\log_{7} (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u \ln (7)}$ です。

$4 (\frac{1}{u \ln (7)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}} - 2$ で置き換えます。

$4 (\frac{1}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2]$

ステップ 3.2

総和則では、 $x^{\frac{1}{2}} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 3.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 9

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

ステップ 10

項を簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.2

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)}$ に $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (2 x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 10.3

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (2 x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 11

共通因数を約分します。

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ステップ 11.1

$2$ を $(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (2 x^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 ((x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (x^{\frac{1}{2}}))}$

ステップ 11.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 ((x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (x^{\frac{1}{2}}))}$

ステップ 11.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2}{(x^{\frac{1}{2}} \ln (7) - 2 \ln (7)) x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (7) x^{\frac{1}{2}} - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3

項をまとめます。

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ステップ 12.3.1

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 12.3.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{x^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2}{x^{\frac{2}{2}} \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3.1.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{2}{x^{1} \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3.2

$x^{1} \ln (7)$ を簡約します。

$\frac{2}{x \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.4

項を並べ替えます。

$\frac{2}{x \ln (7) - 2 x^{\frac{1}{2}} \ln (7)}$

ステップ 12.5

$x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ を $x \ln (7) - 2 x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ で因数分解します。

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ステップ 12.5.1

$x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ を $x \ln (7)$ で因数分解します。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (x^{\frac{1}{2}}) - 2 x^{\frac{1}{2}} \ln (7)}$

ステップ 12.5.2

$x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ を $- 2 x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ で因数分解します。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (- 2)}$

ステップ 12.5.3

$x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ を $x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (- 2)$ で因数分解します。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (x^{\frac{1}{2}} - 2)}$

微分積分 例

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