微分積分例

$f (x) = 3 \ln (x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1)$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \ln (x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1)]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1)]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1$ とします。

$3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1])$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1$ で置き換えます。

$3 (\frac{1}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1]$

ステップ 3.2

総和則では、 $x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [17 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [17 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [17 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1} (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [17 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1} (3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [17 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.6

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1} (3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [17 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.7

$17$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $17 x$ の微分係数は $17 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1} (3 x^{2} - 4 x + 17 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1} (3 x^{2} - 4 x + 17 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.9

$17$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1} (3 x^{2} - 4 x + 17 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.10

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1} (3 x^{2} - 4 x + 17 + 0)$

ステップ 3.11

$3 x^{2} - 4 x + 17$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1} (3 x^{2} - 4 x + 17)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1} (3 x^{2} - 4 x + 17)$ の因数を並べ替えます。

$(3 x^{2} - 4 x + 17) \frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1}$

ステップ 4.2

$3 x^{2} - 4 x + 17$ に $\frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1}$ をかけます。

$\frac{(3 x^{2} - 4 x + 17) \cdot 3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1}$

ステップ 4.3

$3$ を $3 x^{2} - 4 x + 17$ の左に移動させます。

$\frac{3 (3 x^{2} - 4 x + 17)}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1}$

微分積分 例

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