微分積分例

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

ステップ 1

総和則では、 $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \cos (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

ステップ 2.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos^{3} (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ です。

$- 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$- 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

ステップ 3.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

ステップ 3.5

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

ステップ 4.2

$3 \sin (x)$ を $3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ で因数分解します。

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ステップ 4.2.1

$3 \sin (x)$ を $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

ステップ 4.2.2

$3 \sin (x)$ を $- 3 \sin (x)$ で因数分解します。

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

ステップ 4.2.3

$3 \sin (x)$ を $3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ で因数分解します。

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

ステップ 4.3

$\cos^{2} (x)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

ステップ 4.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$3 \sin (x) (- 1 (1) + \cos^{2} (x))$

ステップ 4.5

$- 1$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$3 \sin (x) (- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

ステップ 4.6

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

ステップ 4.7

$- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ を $- (1 - \cos^{2} (x))$ に書き換えます。

$3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

ステップ 4.8

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

ステップ 4.9

指数を足して $\sin (x)$ に $\sin^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 4.9.1

$\sin^{2} (x)$ を移動させます。

$3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

ステップ 4.9.2

$\sin^{2} (x)$ に $\sin (x)$ をかけます。

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ステップ 4.9.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$3 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cdot - 1$

ステップ 4.9.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

ステップ 4.9.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

ステップ 4.10

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 \sin^{3} (x)$

微分積分 例

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