微分積分例

$f (x) = 3 \arctan (e^{2 x})$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \arctan (e^{2 x})$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\arctan (e^{2 x})]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\arctan (e^{2 x})]$

ステップ 2

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = e^{2 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $e^{2 x}$ とします。

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\arctan (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ です。

$3 (\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $e^{2 x}$ で置き換えます。

$3 (\frac{1}{1 + {(e^{2 x})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

ステップ 3

分数をまとめます。

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ステップ 3.1

${(e^{2 x})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 (\frac{1}{1 + e^{2 x \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

ステップ 3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$3 (\frac{1}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

ステップ 3.2

$\frac{1}{1 + e^{4 x}}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{3}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$\frac{3}{1 + e^{4 x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{3}{1 + e^{4 x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{3}{1 + e^{4 x}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$e^{2 x}$ と $\frac{3}{1 + e^{4 x}}$ をまとめます。

$\frac{e^{2 x} \cdot 3}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 5.2

$3$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 5.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{3 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.4

分数をまとめます。

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ステップ 5.4.1

$2$ と $\frac{3 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}}$ をまとめます。

$\frac{2 (3 e^{2 x})}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.4.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{6 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} \cdot 1$

ステップ 5.6

$\frac{6 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}}$

微分積分 例

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