微分積分例

$f (x) = 30 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t$

ステップ 1

${(65 + 5 t)}^{2}$ を $(65 + 5 t) (65 + 5 t)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [30 ((65 + 5 t) (65 + 5 t)) - 1300 t]$

ステップ 2

分配法則（FOIL法）を使って $(65 + 5 t) (65 + 5 t)$ を展開します。

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ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d t} [30 (65 (65 + 5 t) + 5 t (65 + 5 t)) - 1300 t]$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d t} [30 (65 \cdot 65 + 65 (5 t) + 5 t (65 + 5 t)) - 1300 t]$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d t} [30 (65 \cdot 65 + 65 (5 t) + 5 t \cdot 65 + 5 t (5 t)) - 1300 t]$

ステップ 3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$65$ に $65$ をかけます。

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 65 (5 t) + 5 t \cdot 65 + 5 t (5 t)) - 1300 t]$

ステップ 3.1.2

$5$ に $65$ をかけます。

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 5 t \cdot 65 + 5 t (5 t)) - 1300 t]$

ステップ 3.1.3

$65$ に $5$ をかけます。

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 5 t (5 t)) - 1300 t]$

ステップ 3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 5 \cdot 5 t \cdot t) - 1300 t]$

ステップ 3.1.5

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

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ステップ 3.1.5.1

$t$ を移動させます。

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 5 \cdot 5 (t \cdot t)) - 1300 t]$

ステップ 3.1.5.2

$t$ に $t$ をかけます。

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 5 \cdot 5 t^{2}) - 1300 t]$

ステップ 3.1.6

$5$ に $5$ をかけます。

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 25 t^{2}) - 1300 t]$

ステップ 3.2

$325 t$ と $325 t$ をたし算します。

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 650 t + 25 t^{2}) - 1300 t]$

ステップ 4

総和則では、 $30 (4225 + 650 t + 25 t^{2}) - 1300 t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [30 (4225 + 650 t + 25 t^{2})] + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$ です。

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 650 t + 25 t^{2})] + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

ステップ 5

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 650 t + 25 t^{2})]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1

$30$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $30 (4225 + 650 t + 25 t^{2})$ の微分係数は $30 \frac{d}{d t} [4225 + 650 t + 25 t^{2}]$ です。

$30 \frac{d}{d t} [4225 + 650 t + 25 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

ステップ 5.2

総和則では、 $4225 + 650 t + 25 t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [4225] + \frac{d}{d t} [650 t] + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]$ です。

$30 (\frac{d}{d t} [4225] + \frac{d}{d t} [650 t] + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

ステップ 5.3

$4225$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $4225$ の微分係数は $0$ です。

$30 (0 + \frac{d}{d t} [650 t] + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

ステップ 5.4

$650$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $650 t$ の微分係数は $650 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$30 (0 + 650 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

ステップ 5.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$30 (0 + 650 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

ステップ 5.6

$25$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $25 t^{2}$ の微分係数は $25 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$30 (0 + 650 \cdot 1 + 25 \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

ステップ 5.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$30 (0 + 650 \cdot 1 + 25 (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

ステップ 5.8

$650$ に $1$ をかけます。

$30 (0 + 650 + 25 (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

ステップ 5.9

$0$ と $650$ をたし算します。

$30 (650 + 25 (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

ステップ 5.10

$2$ に $25$ をかけます。

$30 (650 + 50 t) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

ステップ 6

$\frac{d}{d t} [- 1300 t]$ の値を求めます。

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ステップ 6.1

$- 1300$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 1300 t$ の微分係数は $- 1300 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$30 (650 + 50 t) - 1300 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$30 (650 + 50 t) - 1300 \cdot 1$

ステップ 6.3

$- 1300$ に $1$ をかけます。

$30 (650 + 50 t) - 1300$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$30 \cdot 650 + 30 (50 t) - 1300$

ステップ 7.2

項をまとめます。

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ステップ 7.2.1

$30$ に $650$ をかけます。

$19500 + 30 (50 t) - 1300$

ステップ 7.2.2

$50$ に $30$ をかけます。

$19500 + 1500 t - 1300$

ステップ 7.2.3

$19500$ から $1300$ を引きます。

$1500 t + 18200$

微分積分 例

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