微分積分例

$h (x) = \frac{\ln (6 t)}{\ln (12 t)}$

ステップ 1

$f (t) = \ln (6 t)$ および $g (t) = \ln (12 t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\ln (12 t) \frac{d}{d t} [\ln (6 t)] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

ステップ 2

$f (t) = \ln (t)$ および $g (t) = 6 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $6 t$ とします。

$\frac{\ln (12 t) (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [6 t]) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{\ln (12 t) (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [6 t]) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $6 t$ で置き換えます。

$\frac{\ln (12 t) (\frac{1}{6 t} \frac{d}{d t} [6 t]) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{1}{6 t}$ と $\ln (12 t)$ をまとめます。

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{6 t} \frac{d}{d t} [6 t] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

ステップ 3.2

$6$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $6 t$ の微分係数は $6 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{6 t} (6 \frac{d}{d t} [t]) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

ステップ 3.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$6$ と $\frac{\ln (12 t)}{6 t}$ をまとめます。

$\frac{\frac{6 \ln (12 t)}{6 t} \frac{d}{d t} [t] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

ステップ 3.3.2

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{6 \ln (12 t)}{6 t} \frac{d}{d t} [t] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

ステップ 3.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{t} \frac{d}{d t} [t] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{t} \cdot 1 - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

ステップ 3.5

$\frac{\ln (12 t)}{t}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{t} - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

ステップ 4

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{t} - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$ に $\frac{t}{t}$ をかけます。

$\frac{t}{t} \cdot \frac{\frac{\ln (12 t)}{t} - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

ステップ 5

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

まとめる。

$\frac{t (\frac{\ln (12 t)}{t} - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)])}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{t \frac{\ln (12 t)}{t} + t (- \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)])}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 5.3

$t$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{t \frac{\ln (12 t)}{t} + t (- \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)])}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{\ln (12 t) + t (- \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)])}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 6

$f (t) = \ln (t)$ および $g (t) = 12 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $12 t$ とします。

$\frac{\ln (12 t) + t (- \ln (6 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [12 t]))}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 6.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$\frac{\ln (12 t) + t (- \ln (6 t) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [12 t]))}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $12 t$ で置き換えます。

$\frac{\ln (12 t) + t (- \ln (6 t) (\frac{1}{12 t} \frac{d}{d t} [12 t]))}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 7

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{1}{12 t}$ と $\ln (6 t)$ をまとめます。

$\frac{\ln (12 t) + t (- \frac{\ln (6 t)}{12 t} \frac{d}{d t} [12 t])}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 7.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$t$ と $\frac{\ln (6 t)}{12 t}$ をまとめます。

$\frac{\ln (12 t) - \frac{t \ln (6 t)}{12 t} \frac{d}{d t} [12 t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 7.2.2

$t$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (12 t) - \frac{t \ln (6 t)}{12 t} \frac{d}{d t} [12 t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 7.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\ln (12 t) - \frac{\ln (6 t)}{12} \frac{d}{d t} [12 t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 7.3

$12$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $12 t$ の微分係数は $12 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{\ln (12 t) - \frac{\ln (6 t)}{12} (12 \frac{d}{d t} [t])}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 7.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$12$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\ln (12 t) - 12 \frac{\ln (6 t)}{12} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 7.4.2

$- 12$ と $\frac{\ln (6 t)}{12}$ をまとめます。

$\frac{\ln (12 t) + \frac{- 12 \ln (6 t)}{12} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 7.4.3

$- 12$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.3.1

$12$ を $- 12 \ln (6 t)$ で因数分解します。

$\frac{\ln (12 t) + \frac{12 (- \ln (6 t))}{12} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 7.4.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.3.2.1

$12$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{\ln (12 t) + \frac{12 (- \ln (6 t))}{12 (1)} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 7.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (12 t) + \frac{12 (- \ln (6 t))}{12 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 7.4.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\ln (12 t) + \frac{- \ln (6 t)}{1} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 7.4.3.2.4

$- \ln (6 t)$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (12 t) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 7.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\ln (12 t) - \ln (6 t) \cdot 1}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 7.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\ln (12 t) - \ln (6 t)}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 8

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{\ln (\frac{12 t}{6 t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 9

$12$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$6$ を $12 t$ で因数分解します。

$\frac{\ln (\frac{6 (2 t)}{6 t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$6$ を $6 t$ で因数分解します。

$\frac{\ln (\frac{6 (2 t)}{6 (t)})}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 9.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (\frac{6 (2 t)}{6 t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 9.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\ln (\frac{2 t}{t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 10

$t$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (\frac{2 t}{t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

ステップ 10.2

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (2)}{t \ln^{2} (12 t)}$

微分積分 例

微分積分例